湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练4 Word版含解析

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长郡中学 2025 届高三数学复习
小题精练（4）
一、单选题
1．已知集合
P=
{
x∣y=❑
√
x+1
)
，
Q=
{
y∣y=x2
)
，则下列选项中正确的是（）
A．
P∪Q=R
B．
Q⊆P
C．
P ∩Q=∅
D．
P⊆Q
2．复数
Z=i+2i2+3i3+⋅⋅ ⋅+2 0 24i2 0 24
的虚部是（）
A．1012 B．1011 C．
D．
−1012
3．若
(
ax − b
x
)
6
的展开式中常数项为
−160
，则
a2+b2+2
ab
的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角
垛”．“三角垛”的最上层有 1个球，第二层有 3个球，第三层有 6个球，……．记各层
球数构成数列
{
an
)
，且
{
an+1−an
)
为等差数列，则数列
{
1
an
)
的前
100
项和为（）
A．
99
100
B．
100
101
C．
99
50
D．
200
101
5．已知：
sin
(
α+β
)
=m
，
tan α=3 tan β
，则
sin
(
α − β
)
=¿
（）
A．
m
4
B．
−m
4
C．
m
2
D．
−m
2
6．设函数
f(x)=log2∨x∨− x−2
，则不等式
f(x− 2)≥ f (2x+2)
的解集为（）
A．
[−4,0 ]
B．
¿
C．
¿∪¿
D．
¿∪(−1,0)
7．已知抛物线 C：
y2=x
的焦点为 F，在抛物线 C上存在四个点 P，M，Q，N，若弦
PQ
与
弦
MN
的交点恰好为 F，且
PQ ⊥MN
，则
1
|
PQ
)
+1
|
MN
)
=¿
（）
A．
❑
√
2
2
B．1 C．
❑
√
2
D．2
8．如图，在矩形
ABCD
中，
AB=4
，
AD=3
，
F
，
G
分别在线段
AB
，
BC
上，
BF=BG=1
，将
△BFG
沿
FG
折起，使
B
到达
M
的位置，且平面
FGM ⊥
平面
ADCGF
，
则四面体
ADFM
的外接球的表面积为（）
A．
20 π
B．
20❑
√
5 π
C．
100 π
3
D．
100❑
√
5 π
3
二、多选题
9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，
它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3443，94249 等，显然两位回文
数有 9个：11，22，33，…，99；三位回文数有 90 个：101，111，121，…，191，202，
…，999.下列说法正确的是（）
A．四位回文数有 45 个B．四位回文数有 90 个
C．
2n
（
n∈N*
）位回文数有
10n
个D．
2n+1
（
n∈N*
）位回文数有
9×10n
个
10．已知函数
f(x)=¿sin x∨+cos(x − π
6)
，则 （）
A．函数
f(x)
的最小正周期为
2 π
B．函数
f(x)
的图象为中心对称图形
C．函数
f(x)
在
(−2 π , − 5 π
3)
上单调递增
D．关于
x
的方程
f(x)=a
在
[−π,π]
上至多有 3个解
11．已知函数
y=f(x)
在
R
上可导且
f(0)=−2
，其导函数
f′(x)
满足：
f′(x)−2f(x)
e2x=2x − 1
，则下列结论正确的是（）
A．函数
f(x)
有且仅有两个零点
B．函数
g(x)=f(x)+2 e2
有且仅有三个零点
C．当
0≤ x ≤ 2
时，不等式
f(x)≥3 e4(x −2)
恒成立
D．
f(x)
在
[1,2]
上的值域为
[
−2 e2,0
)
三、填空题
12．在
△ABC
中，
a
b=2 cos B<1
，则
cos (B − C)=¿
.
13．已知函数
f(x)
满足：
f(x)≠0
，且
1
4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x − y )
(x , y ∈R)
，若
f(1)=4
，则
f(8)=¿
．
14．现有 n（
n>3
，
n∈N∗
）个相同的袋子，里面均装有 n个除颜色外其他无区别的小球，
第k（
k=1
，2，3，…，n）个袋中有 k个红球，
n − k
个白球.现将这些袋子混合后，任选
其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球
的概率是
4
9
，则
n=¿
.
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