湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析

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2024—2025 第一次阶段性检测
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
得分______
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数 ，则 （ ）
A. B. C.3 D.5
2.无论 为何值，直线 过定点（ ）
A. B. C. D.
3.在平行四边形 中， ， ， ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.直线 关于 对称的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆 ： 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. 或C.8 或2 D.8
7.已知实数 满足 ，则 的范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知平面上一点 ，若直线 上存在点 使 ，则称该直线为点 的“相关直线”，
下列直线中不是点 的“相关直线”的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知直线 ： ，圆 ： ， 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A.若圆 关于直线 对称，则
B.点 到直线 的距离的最大值为
C.存在两个不同的实数 ，使得直线 与圆 相切
D.存在两个不同的实数 ，使得圆 上恰有三个点到直线 的距离为
10.已知圆 ： 与圆 ： 的一个交点为 ，动点
的轨迹是曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线 的方程为
B.曲线 的方程为
C.过点 且垂直于 轴的直线与曲线 相交所得弦长为
D.曲线 上的点到直线 的距离的最大值为
11.在边长为 2的正方体 中， 为 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A. 与 所成角的余弦值为
B.过 ， ， 三点的正方体 的截面面积为 3
C.当 在线段 上运动时， 的最小值为 3
D.若 为正方体表面 上的一个动点， ， 分别为 的三等分点，则 的最小值为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.通过科学研究发现：地震释放的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M之间的关系为
.已知 2011 年甲地发生里氏 9级地震，2019 年乙地发生里氏 7级地震，若甲、乙两地地
震释放的能量分别为 ， ，则 ______.
13.直线 的倾斜角的取值范围是______
14.如图，设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 P是以 为直径的圆与椭圆在
第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点 ，若 ，则直线 的斜率为______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）已知两圆 和 .求：
（1）m取何值时两圆外切？
（2）当 时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
16.（15 分）在 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知
.
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积.
17.（15 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，四边形
满足 ， ， ，点 为 的中点，点 为棱 上的动点.
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