湖南省永州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

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永州一中 2024 年高二上期期中数学试卷
（内容：必修一、二 20%，选修一 80%）
一、单选题（每道题只有一个正确的选项，每小题 5分，共 40 分）
1. 双曲线 的虚轴长为（ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的方程求出 的值，即可得答案．
【详解】因为 ，所以 ，所以双曲线的虚轴长为 .
故选：D.
2. 已知 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得 的值．
【详解】 向量
若 ，
则 ，
．
故选：C．
3. 抛物线 的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接法求解抛物线的准线方程.
【详解】抛物线 即 ，它的的准线方程为 .
故选：A.
4. 平 行 六 面 体 的 底 面 是 边 长 为 2的 正 方 形 ， 且 ，
， 为 ， 的交点，则线段 的长为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可得 ，进而结合数量积运算求模长.
【详解】由题意可知： ，
则
，
所以 .
故选：C.
5. 已知抛物线 的焦点为 F，过 F作斜率为 2的直线 l与抛物线交于 A，B两点，若弦
的中点到抛物线准线的距离为 3，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出直线，并与抛物线联立，得到 ，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.
【详解】因为直线 l的方程为 ，即 ，
由 消去 y，得 ，
设 ，则 ，
又因为弦 的中点到抛物线的准线的距离为 3，所以 ，
而 ，所以 ，
故 ，解得 ，所以抛物线的方程为
故选：B.
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标
系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小
值为（ ）
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