广东省六校（东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学）2024届高三上学期第一次联考 数学答案

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东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学
2024 届高三第一次六校联考数学参考答案
一､单选题，二多选题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
C
B
A
D
AC
BC
BD
ABD
三､填空题（第 16 题第一问 2分，第二问 3分）
13.7.85 14.
15.-2 16.
2 2 3,5 3 5 3x y r  
四､解答题
17.解：（1）解法一：因为数列
 
n
b
是以 1为首项，公比为 3的等比数列，
所以
1
3n
n
b
，因为
 
2
1 8
n
n a n n k  
，所以
1 2 3
7 12 15
, ,
2 3 4
k k k
a a a
 
 
.
因为数列
 
n
a
是等差数列，
所以
2 1 3
2a a a 
，即
12 7 15
23 2 4
k k k  
 
，解得
9k 
所以
   
2
1 8 9 1 9
n
n a n n n n  
，所以
9
n
a n 
.
解法二：因为数列
 
n
b
是以 1为首项，公比为 3的等比数列，所以
1
3n
n
b
，
因为数列
 
n
a
是等差数列，设公差为
d
，则
 
1 1
1
n
a a n d dn a d  
.
所以
   
2 2
1 1 1
1 1 8
n
n a n dn a d dn a n a d n n k    
，
所以
1
1
8,
9
d
a
k
 
 
所以
9
n
a n 
（2）因为
1
9
3
n
nn
n
an
cb
 
，
当
8n
时，
0
n
c
；当
9n
时，
0
n
c
；当
10n
时，
0
n
c
.
当
10n
时，
11
8 9 19 2 0
3 3 3
n n n n n
n n n
c c
 
 
，即，
1n n
c c
.
所以数列
 
n
c
的最大项是第 10 项
10 9
1
3
c
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18.解：（1）在
BCD
中，
2, 3, 7BD BC CD  
，
由余弦定理可知
2 2 2 4 9 7 1
cos 2 2 3 2 2
BC BD CD
BBC BD
 
 
 
，
因为
0B
 
，所以
3
sin 2
B
，
所以
1sin 3 3
2
ABC
S AB BC B  
；
（2）在
ACD
中，设
, 2ACD BAC
 
 
，则由正弦定理
sin2 sin
CD AD
 
，
即
7 2
2sin cos sin
 
，得
 
7
cos , 0,
4
 
 
，所以
3
sin 4
，
2
3 7 1
sin2 2sin cos ,cos2 2cos 1
8 8
 
 
，
所以
2ADC
 
 
，
所以
 
3 7 7 1 3 9
sin sin 2 8 4 8 4 16
ADC
 
 
，.
由正弦定理得：
sin sin
AC AD
ADC ACD
 
，即
9
23
16
32
4
AC
 
.
19.解：（1）证明：因为
BC
∥
平面
,PAD BC
平面
ABCD
，且平面
PAD
平面
ABCD AD
，所以
BC AD∥
.
取
PA
的中点
F
，连接
BF EF､
，
因为
E
是棱
PD
的中点，所以，
EF AD∥
且
1
2
EF AD
，
因为
BC AD∥
且
1
2
BC AD
，所以，
EF BC∥
且
EF BC
，
所以，四边形
BCEF
为平行四边形，则
CE BF∥
，
因为
CE
平面
,PAB BF
平面
PAB
，所以
CE
∥
平面
PAB
..
（2）取
AD
的中点
O
，连接
PO
.
因为
PAD
是正三角形，所以
PO AD
.
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又因为平面
PAD
平面
ABCD
，平面
PAD
平面
,ABCD AD PO 
平面
PAD
，
所以，
PO
平面
,.ABCD
.
因为
1
, ,
2
BC AD BC AD O∥
为
AD
的中点，所以，
BC AO∥
且
BC AO
，
所以，四边形
ABCO
为平行四边形，则
CO AB∥
，
因为
AB AD
，则
CO AD
，
以点
O
为坐标原点，
OC OD OP､ ､
所在直线分别为
x y z､ ､
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则
 
 
 
0, 1,0 1, 0,0 0,0, 3 0,1,0A C P D､ ､ ､
，所以
 
1,1,0AC
，
设
 
0, 1, 3 0, , 3DE DP
 
 
 
，其中
0 1
 
，则
 
 
0, 2,0 0, , 3 0, 2 , 3AE AD DE
   
  
 
，
设平面
ACE
的法向量
 
1 1 1
, ,n x y z
，
所以
 
1 1
1 1
0
2 3 0
n AC x y
n AE y z
 
 
 
，
令
12z
 
，得
 
3 , 3 ,2n
 
 
，
设点
B
到平面
ACE
距离为
2
3
,
7 4 4
AB n
d d n
 
 
.
当
0
时，
0d
；
当
0 1
 
时，
11
，则
2
2
3 3 3 21
07
4 4 1 6
2
71 6
d
 
 
 
   
 
 
，
当且仅当
1
时等号成立.
综上，点
B
到平面
ACE
距离的取值范围是
21
0, 7
 
 
 
.
20.解：（1）由题意得列联表如下：
一等品
非一等品
合计
甲
75
25
100
乙
48
32
80
合计
123
57
180
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