2023届高三广东省一模 数学答案 - 副本

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数学模拟测试 （一）参考答案　第１　　　　 页 （共 ８页）
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２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试 （一）
数学参考答案
评分标准：
１．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
２．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应
得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
３．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
一、选择题：本题共 ８小题，每小题 ５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 １２３４５６７８
答案 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ
二、选择题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 ５分，部分选对的得 ２分，有选错的得 ０分。
题号 ９ １０ １１ １２
答案 ＢＤ ＡＣＤ ＡＤ ＢＣ
三、填空题：本大题共 ４小题，每小题 ５分，共２０分。请把答案填在答题卡的相应位
置上。
１３．π
３
　　１４．－槡
３ ３
５或槡
３
( )
７
　　１５．２４　　１６．５
四、解答题：本大题共 ６小题，共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１７．解：（１）因为 ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ－ｃｏｓ２Ｃ＝１－２ｓｉｎＡｓｉｎＢ，
所以 １－２ｓｉｎ
２
Ａ＋１－２ｓｉｎ
２
Ｂ－（１－２ｓｉｎ
２
Ｃ）＝１－２ｓｉｎＡｓｉｎＢ，１分
!!!!!!
整理得ｓｉｎ
２
Ａ＋ｓｉｎ
２
Ｂ－ｓｉｎ
２
Ｃ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ，２分
!!!!!!!!!!!!!!!!
由正弦定理得 ａ
２＋ｂ
２－ｃ
２＝ａｂ，３分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
由余弦定理得 ｃｏｓＣ＝
ａ
２＋ｂ
２－ｃ
２
２ａｂ ＝１
２
，４分
!!!!!!!!!!!!!!!!
因为 Ｃ
∈（０，π
），所以 Ｃ＝π
３
．５分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
数学模拟测试 （一）参考答案　第２　　　　 页 （共 ８页）
（２）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ ２
π
３－
( )
Ａ＋
槡
３
２６分
!!!!!!!!!!!!
＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ
２
π
３ｃｏｓＡ－ｃｏｓ
２
π
３ｓｉｎＡ＋
槡
３
２
＝３
２
ｓｉｎＡ＋
槡
３
２
ｃｏｓＡ＋
槡
３
２
槡
＝ ３ｓｉｎ Ａ＋π
( )
６＋
槡
３
２
，８分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
在△ＡＢＣ中，因为 Ｃ＝π
３
，所以 ０＜Ａ＜
２
π
３，９分
!!!!!!!!!!!!!!
所以 π
６＜Ａ＋π
６＜
５
π
６，所以 １
２＜ｓｉｎ Ａ＋π
( )
６≤１，所以槡槡
３＜ ３ｓｉｎ Ａ＋
π
( )
６＋
槡
３
２
≤槡
３ ３
２，
所以 ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ的取值范围为 槡
３，槡
３ ３
(
]
２．１０分
!!!!!!!!!!
１８．解：（１）当 ｎ＝１时，ａ
２
１＝２Ｓ
１－ａ
１＝ａ
１
，所以 ａ
１＝１或ａ
１＝０（舍去）， １分
!!!
当ｎ
≥２时，有
ａ
２
ｎ＝２Ｓ
ｎ－ａ
ｎ
，
ａ
２
ｎ－１ ＝２Ｓ
ｎ－１ －ａ
ｎ－１
{
，
２分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
两式相减得 ａ
２
ｎ－ａ
２
ｎ－１ ＝２ａ
ｎ－ａ
ｎ＋ａ
ｎ－１ ＝ａ
ｎ＋ａ
ｎ－１
，３分
!!!!!!!!!!!
整理得（ａ
ｎ＋ａ
ｎ－１
）（ａ
ｎ－ａ
ｎ－１
）＝ａ
ｎ＋ａ
ｎ－１
，４分
!!!!!!!!!!!!!!!
因为｛ａ
ｎ
｝的各项都是正数，所以 ａ
ｎ－ａ
ｎ－１ ＝１，
所以｛ａ
ｎ
｝是首项为 １，公差为 １的等差数列， ５分
!!!!!!!!!!!!!
所以 ａ
ｎ＝１＋１·（ｎ－１）＝ｎ． ６分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）由（１）得 Ｓ
ｎ＝
ｎ（ｎ＋１）
２，则 １
Ｓ
ｎ
＝２
ｎ（ｎ＋１
）
＝２ １
ｎ－１
ｎ
( )
＋１，７分
!!!!!!!
所以 Ｐ
ｎ＝１
Ｓ
１
＋１
Ｓ
２
＋…＋１
Ｓ
ｎ
＝２ １－１
２＋１
２－１
３＋…＋１
ｎ－１
ｎ
( )
＋１ ＝２ １－ １
ｎ
( )
＋１，
８分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
由（１）得 １
ａ
２
ｎ－１
＝１
２
ｎ－１
，９分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
所以 Ｑ
ｎ＝１
ａ
１
＋１
ａ
２
＋１
ａ
２
２
…＋１
ａ
２
ｎ－１
＝１＋１
２＋１
２
２＋…＋１
２
ｎ－１ ＝
１－
( )
１
２
ｎ
１－１
２
＝２ １－１
２
( )
ｎ，
１０分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为 ２
ｎ＝（１＋１）
ｎ＝１＋ｎ＋
ｎ（ｎ＋１）
２＋…＞１＋ｎ＞０（ｎ
≥２），
所以 １
２
ｎ＜１
１＋
ｎ
，故 １－１
２
ｎ＞１－ １
１＋
ｎ
，
数学模拟测试 （一）参考答案　第３　　　　 页 （共 ８页）
所以当 ｎ
≥２时，Ｐ
ｎ＜Ｑ
ｎ
．１２分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
１９．解：（１）如图，取 ＢＣ中点 Ｈ，连接 ＥＨ，因为 ＥＢ＝ＥＣ，所以 ＥＨ
⊥ＢＣ，１分
!!
又因为平面 ＢＣＥ
⊥平面 ＢＣＤ，平面 ＢＣＥ
∩平面 ＢＣＤ＝ＢＣ，
ＥＨ
平面 ＢＣＥ，所以 ＥＨ
⊥平面 ＢＣＤ，２分
!!!!!!!
同理可得 ＡＧ
⊥平面 ＢＣＤ，
所以 ＥＨ
∥ＡＧ，３分
!!!!!!!!!!!!!!!!!
又因 为 ＡＧ
平 面 ＢＣＥ，ＥＨ
平 面 ＢＣＥ，所 以 ＡＧ
∥平 面
ＢＣＥ，４分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
因为点 Ｆ，Ｇ分别是 ＣＤ，ＢＤ中点，所以 ＦＧ
∥ＢＣ，
又因为 ＦＧ
平面 ＢＣＥ，ＢＣ
平面 ＢＣＥ，所以 ＦＧ
∥平面 ＢＣＥ，５分
!!!!!!
又因为 ＡＧ
∩ＦＧ＝Ｇ，ＡＧ，ＦＧ
平面 ＡＦＧ，所以平面 ＡＦＧ
∥平面 ＢＣＥ． ６分
!!
（２）方法一：因为 ＢＣ
⊥ＢＤ，ＢＣ／／ＦＧ，所以 ＦＧ
⊥ＢＤ，
由（１）知 ＡＧ
⊥ＢＤ，ＡＧ
⊥平面 ＢＣＤ，ＧＦ
平面 ＢＣＤ，所以
ＡＧ
⊥ＧＦ，
所以 ＧＦ，ＧＢ，ＧＡ两两相互垂直， ７分
!!!!!!!
如图，以 点 Ｇ为坐标原点，ＧＦ，ＧＢ，ＧＡ分别为 ｘ轴，
ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，
因为 ＡＢ 槡
＝ ２，ＢＥ 槡
＝ ５，所以 ＧＡ＝ＧＢ＝１，ＥＨ＝２，ＢＨ＝１，
则Ａ（０，０，１），Ｃ（２，１，０），Ｅ（１，１，２）， ８分
!!!!
平面 ＡＦＧ的一个法向量为 →
ＤＢ＝（０，２，０）， ９分
!!!
设平面 ＡＣＥ的法向量为 ｎ
→
＝（ｘ，ｙ，ｚ），
由→
ＡＣ＝（２，１，－１）， →
ＣＥ＝（－１，０，２），
得ｎ
→
·→
ＡＣ＝０，
ｎ
→
·→
ＣＥ＝０
{
，
即
２ｘ＋ｙ－ｚ＝０，
－ｘ＋２ｚ＝０
{
，
解得
ｙ＝－
３ｘ
２
，
ｚ＝ｘ
２
{
，
取ｘ＝２，得 ｎ
→
＝（２，－３，１），
１０分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
设平面 ＡＦＧ和平面 ＡＣＥ的夹角为 θ
，
则ｃｏｓ
θ
＝ ｃｏｓ＜ｎ
→
，→
ＤＢ＞ ＝ ｎ
→
·→
ＤＢ
ｎ
→
·→
ＤＢ
＝６
槡
２× １４
＝槡
３ １４
１４ ，
所以平面 ＡＦＧ和平面 ＡＣＥ的夹角的余弦值为 槡
３ １４
１４ ．１２分
!!!!!!!!!
方法二：因为平面 ＡＦＧ
∥平面 ＢＣＥ，所以平面 ＡＦＧ和平面 ＡＣＥ的夹角即二面角
Ａ－ＣＥ－Ｂ．
如图，过点 Ａ作ＡＭ⊥ＣＥ，垂足为点 Ｍ，过 点 Ｍ作ＭＮ
⊥ＥＣ交ＢＥ于 点 Ｎ，则
∠ＡＭＮ为二面角 Ａ－ＣＥ－Ｂ所成平面角．７分
!!!!!!!!!!!!!!!
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