湖北十堰市部分普通高中2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学答案

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高二数学答案及解析
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A C D B B D A
二、多选题
9 10 11 12
ABD CD AD AD
二、填空题
13. -1 14. 2.5 15.
2x+3y=0，x − y − 5=0
16.
三、解答题
17.解：
¿
Ⅰ
¿
因为点
B(2,0)
，点
C(0,
√
3)
，所以边
BC
所在直线斜率
kB C=−
❑
√
3
2
，
所以边
上的高所在直线的斜率
k=2
√
3
3
，且过点
A(−1,0)
．
所以边
上的高所在直线的方程为
y=2
√
3
3(x+1)
．
¿
Ⅱ
¿
由
kAC =
√
3
得
∠BAC =60∘
，所以
∠BAC
角平分线的倾斜角为
30∘
，
所以
∠BAC
角平分线所在直线的斜率
k1=tan 30∘=
√
3
3
，且过点
A(−1,0)
，
所以
∠BAC
角平分线所在直线
l
的方程为
y=
√
3
3(x+1)
．
18.解：
∵MQ
⃗
=x MG
⃗
+y MN
⃗
(
x , y ∈R
)
，
∴
点
Q
在平面
MGN
上，
如图，分别取
AB
，
C C1
，
C1D1
的中点
E
，
F
，
O
，
连接
OG , OF , FN , EN , A D1,OE , NG
，
因为
M ,G
分别为
A A1
，
A1D1
的中点，故
MG/¿A D1
，
又由正方体
ABCD− A1B1C1D1
可 得
D1O=1
2D1C1
，
AE=1
2AB, D1C1/¿AB , D1C1=AB
，
故
D1O/¿AE , D 1O=AE
，故四边形
D1OEA
为平行四边形，故
A D1/¿OE
，
故
MG/¿OE
，故
M ,G , O , E
四点共面，同理可证
M ,G , N , E
四点共面，
故
M ,G , O , N , E
五点共面，同理可证
G ,O , N , F
四点共面，
故
M ,G , O , F , N , E
六点共面，由正方体的对称性可得六边形
OFNEMG
为正六边形．
故点
Q
的轨迹是正六边形
OFNEMG
，
因为正方体
ABCD− A1B1C1D1
的棱长为
4
，所以正六边形
OFNEMG
的边长为
2
√
2
，
所以点
Q
的轨迹围成图形的面积是
S=6×1
2×2
√
2×2
√
2×sin 60∘=12
√
3
．
如图，根据向量数量积的几何意义可得
MG
⃗
⋅MQ
⃗
=
|
MG
⃗
|
×
|
MQ
⃗
|
cos ∠QMG
¿2
√
2×
|
MQ
⃗
|
cos ∠QMG ≤ 2
√
2×
|
MO
⃗
|
cos 30∘=2
√
2×2
√
6⋅cos 30∘=12
，
∴MG
⃗
⋅MQ
⃗
的最大值为
12
．
19. 解：在长方体
ABCD− A1B1C1D1
中，以
D
为原点，
DA
，
DC
，
D D1
所在直线分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴，
建立如图所示空间直角坐标系，则
A(1,0,0)
，
A1(1,0,1)
，
C(0,2,0)
，
D(0,0,0)
，
D1(0,0,1)
，
E(1,1,0)
,
¿
Ⅰ
¿
因为
D1E
⃗
=(1,1 ,−1)
，
D A1
⃗
=(1,0,1)
,又由
D1E
⃗
⋅D A1
⃗
=1×1+1×0+(−1)×1=0
，
所以
D1E
⃗
⊥D A1
⃗
，即
D1E⊥A1D

¿
Ⅱ
¿
因为
AC
⃗
=(−1,2,0)
，
A D1
⃗
=(−1,0,1)

设
⃗
n=(x , y , z)
为平面
AC D1
的法向量，则
n
⃗
⊥AC
⃗
，
n
⃗
⊥A D1
⃗
，
所以
{
n
⃗
⋅AC
⃗
=− x+2y=0
n
⃗
⋅A D1
⃗
=− x +z=0
令
x=2
，则
y=1
，
z=2
，
所 以
⃗
n=(2,1,2)
为平面
AC D1
的一个法向量
.
 又因为
⃗
AE=(0,1,0)
，
D1E
⃗
=(1,1 ,−1)
而
sin θ=¿¿ D1E
⃗
⋅n
⃗
∨¿
¿n
⃗
∨∙∨D1E
⃗
∨¿=¿0×1+1×1+0×−1∨¿
√
12+12+(−1)2=¿¿¿
¿¿
，
所以直线
D1E
与平面
AC D1
夹角的正弦值为
❑
√
3
3

20.（1）①若直线 过原点，则 在坐标轴的截距都为 ，显然满足题意，
此时则 ，解得 ，
②若直线 不过原点，则斜率为 ，解得 .
因此所求直线 的方程为 或
（2）①若 ，则 解得 或 .
当 时，直线 ： ，直线 ： ，两直线重合，不满足 ，故舍去；
当 时，直线 ： ，直线 ： ，满足题意；
因此所求直线 ：
21.（1）因为直线 ，即 ，令 ，求得 ， ，
即直线 过定点 且在第一象限，所以无论 取何值，直线 始终经过第一象限．
（2）因为直线 与 轴， 轴正半轴分别交于 ， 两点，所以 ，
令 ，解得 ；令 ，得 ，即 ， ，
∴，∵ ，∴ ，
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