四川省自贡市2019年中考数学真题试题（含解析）

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四川省自贡市初 2019 届毕业生学业考试数学试题
一.选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1.
2019
的倒数是 （ ）
A.
2019
B.
1
2019
C.
1
2019
D.
2019
考点：倒数.
分析：1 除以一个不 等于 0 的数的商就是这个数的倒数；实际上抓住互为倒数的两个数乘积
为 1 就行了.
2019
的倒数
1
2019
.故选 B.
2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中
国高速铁路营运里程将达到 23000 公里，将 23000 用科学记数法表示应为 （ ）
A.
.4
2 3 10
B.
3
23 10
C.
.3
2 3 10
D.
考点：科学记数法.
分析：把一个数
A
记成
n
a 10
的形式（其中
a
是整数为 1 位的数，
n
恰好为原数的整数的
位数减 1 ）.就为科学记数法，
4
23000 2.3 10 
.故选 A.
3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
考点：轴对称图形、中心对称图形.
分析：轴对称图形、中心对称图形都是指的一个图形，只是运动方式不一样；轴对称图形是
沿某直线翻折与自身重合，中心对称图形是绕着一个点旋转 180°后与自身重合，D 选择支符
合这一特点.故选 D.
4.在 5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲的成绩方
差是 15，乙的成绩的方差是 3，下列说法正确的是 （ ）
A.甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人的成绩一样稳定 D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
考点：方差的性质.
分析：在同样条件下，样本数据的方差越大，波动越大；方差越小，波动越小，B 选择支符合
这一性质.故选 B.
5.下图是水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是 （ ）
考点：三视图之俯视图.
分析：几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形，要注意看得见的轮廓线画
成实线，看不见的轮廓线画成虚线；C 符合这一要求.故选 C.
6.已知三角形的两边分别为 1 和 4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为 （ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
考点：三角形三边之间的关系.
分析：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；所以
4 1 
第三边
4 1 
，
即
3
第三边
5
；第三边取整数为 4，
4 4 1 9  
.故选 C.
7.实数
m,n
在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 （ ）
A.
m 1
B.
1 m 1 
C.
mn 0
D.
m 1 0 
考点：数轴上点的坐标的意义，实数的运算.
分析：∵
m 0
∴
1 m 1 
；也可以用“赋值法” 代入计算判断.故选 B.
8.关于
x
的一元二次方程
2
x 2x m 0  
无实数根，则实数
m
的取值范围是 （ ）
A.
m 1
B.
m 1
C.
m 1
D.
m 1
考点：一元二次方程跟的判别式、解不等式.
分析：∵原一元二次方程无实数根，∴△=
 
2
2 4 1 m 0  
，解得
m 1
；故选 D.
9.如一次函数
y ax b 
与反比例函数
c
yx
的图像如图所示，则二次函数
2
y ax bx c  
的大致图象是 （ ）
考点：一次函数、二次函数以及反比例函数的图象及其性质.
分析：根据本题的原图并结合一次函数和反比例函数图象的位置可知
a 0,b 0,c 0  
，所以
对于二次函数
2
y ax bx c  
的图象的抛物线开口向下，对称轴直线
b
x 0
2a
 
（即抛物
线的对称轴在
y
的右侧），与
y
轴的正半轴，A 符合这一特征；故选 A.
10.均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度
h
与时间
t
的函数关系如图所示，则
该容器是下列中的 （ ）
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
A
D
考点：函数图象及其性质的实际应用.
分析：根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜
率）可以反映水面升高的速度；因为 D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆
面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选 D.
11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能
形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之
比最接近 （ ）
A.
4
5
B.
3
4
C.
2
3
D.
1
2
考点：正方形和圆的有关性质和面积计算.
分析：连接正方形的对角线；根据圆周角的推论可知是正方形的外接圆的直径；设正方形的
边长为
a
，则正方形的面积为
2
a
；根据正方形的性质并利用勾股定理可求正方形的对角线长
为
2 2
a a 2a 
，则圆的半径为
2a
2
，所以圆的面积为
2
2
2 1
a a
2 2
 
 
 
 
 
 
，所以
它们的面积之比为
2
2
a 2 0.6366
1a
2
 
，与 C 的近似值比较接近； 故选 C.
12.如图，已知
A B、
两点的坐标分别为
 
8, 0 0, 8，
，点
C F、
分别是直线
x 5 
和
x
轴
上的动点，
CF 10
,点
D
是线段
CF
的中点，连接
AD
交
y
轴于点
E
；当⊿
ABE
面积取得
最小值时，
tan BAD
的值是 （ ）
A.
8
17
B.
7
17
C.
4
9
D.
5
9
考点：直角三角形、等腰三角形、相似三角形以及圆的有关性质，勾股定理、三角函数等.
分析：
见后面的示意图.根据题中“点
C F、
分别是直线
x 5 
和
x
轴上的动点，
CF 10
”可以
得到线段
CF
的中点
D
的运动 “轨迹”是以点
M
为圆心 5 半径的圆，当
D
运动到
x
轴上方的
圆上
D'
处恰好使
AD'
圆相切于
D'
时，此时的图中的
1
最大，则
BAD'
最小，此时
△
ABE
面积最小.
在
Rt
△
'MD A
中，由坐标等可求
AM 13,MD' 5 
2 2
AD' 13 5 12  
. 根据题意
和圆的切线的性质容易证明
△
AOE
∽
△
'AD M
，∴
OE AO
MD' AD'
，即
OE 8
5 12
解得：
10
OE 3
,∴
10 14
BE 8 3 3
 
.∵
A B、
两点的坐标分别为
 
8, 0 0, 8，
且
AOB 90 
∴
2 2
AB 8 8 8 2  
;过点
于
N
,容易证明
△
ENB
是等腰直
角三角形 ∴
14 7
NE NB 2 2
3 3
 
∴
7 17
AN AB NB 8 2 2 2
3 3
 
在
Rt
△
ANE
中，
NE 7 17
tan BAD 2 2
AE 3
7
173
 
.故选 B.
点评：
本题首先挖出点
D
的运动 “轨迹”是一个圆，然后在此基
础上切入探究三角形面积最小时点
D
的特殊位置，并利用关联
知识来使问题得以解决.本题综合知识点较多，技巧性墙，并
渗透“轨迹”思想，是一道高质量的考题.
第Ⅱ卷 非选择题 （共 102 分）
注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题
可先用铅笔绘出，确认后用 0.5 毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
二.填空题(共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分)
13. 如图，直线
AB CD、
被直线
EF
所截，
AB
∥
CD
,
1 120 
;
则
2
= .
考点：平行线的性质、邻补角的定义.
略解： ∵
AB
∥
CD
∴
1 3 120  
∵
2 3 180  
∴
2 180 120 60 
 
故应填：
60
.
14.在一次 12 人参加的数学测试中，得 100 分、95 分、90 分、85 分、75 分的人数分别为 1、
3、4、2、2，那么这组数据的众数是 .
考点：众数的定义.
分析：众数是指一组 数据中出现次数最多的数据，90 分的有 4 人，次数最多；
故应填：
90
分.
15.分解因式：
2 2
2x 2 y
= .
3
考点：提公因式和公式法分解因式
分析：先提取公因式，再利用平方差公式分解.即
 
 
2 2 2 2
2x 2 y 2 x y 2 x y x y  
故应填：
 
2 x y x y 
.
16.某活动小组购买 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 466 元，其中篮球的单价比足球的单价
多 4 元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为
x
元，足球的单价为
y
元，依题意，可
列方程组为 .
15.分解因式：
2 2
2x 2 y
= .
考点：列方程组解应用题.
分析：本题抓住两个等量关系列方程组：其一.4 个篮球的费用+5 个足球的费用=466 元；其二.
篮球的单价-足球的单价=4 元.
故应填：
4 x 5 y 466
x y 4
 
 
.
17.如图，在
Rt
△
ABC
中，
ACB 90 , AB 10,BC 6 
,
CD
∥
AB
,
ABC
的平分线
BD
交
AC
于
E
,
DE
= .
考点：勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线的性质、等腰三
角形的性质以及角平分线的定义等等.
略解： 在
Rt
△
ABC
中求出
2 2 2 2
AC AB BC 10 6 8  
∵
BD
是
ABC
的平分线 ∴
1 2  
∵
CD
∥
AB
∴
1 D  
∴
D 2  
∴
CD BC 6 
∵
CD
∥
AB
∴
△
ABE
∽
△
CDE
∴
CE DE CD 6 3
AE BE AB 10 5
 
∴
3 3
CE AC 8 3
3 5 8
 
又在
Rt
△
BCE
中
2 2 2 2
BE BC CE 6 3 3 5  
∴
3 3 9
DE BE 3 5 5
5 5 5
 
. 故应填：
95
5
.
18.如图，由 10 个完全相同的正三角形构成的网格图中，
 
 、
如图所示，则
 
cos
 
= .
考点：正三角形、菱形的性质，勾股定理、三角函数，整体思想等.
分析：
本题可以先
 
,
拼在一个角中按如图方式连接辅助线
BC
；
根据正三角形可菱形的性质求出
1 2 30
   
,
3 60
 
∴
ACB 2 3 90
 
;设正三角形的边长为
a
，则
AC 2a
，利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：
BC 3a
在
Rt
△
ACB
中,
 
 
2
2
2 2
AB AC BC 2a 3a 7a  
∴
BC 3a 21
cos ABC AB 7
7a
 
即
 
 
21
cos 7
 
故应填：
21
7
.
点评：
本题关键抓住把分散的
和
集中拼成在一个角中，通过连接一条辅助线就解决这个问题.
然后再利用勾股定理和三角函数使问题得以解决，本题难度不大，但构思巧妙，是一道好题.
三.解答题(共 8 个题，共 78 分)
19.（本题满分 8 分） 计算：
 
0
3 4 sin 45 8 3
 
.
考点：实数的运算，含特殊锐角三角函数值、次幂、绝对值以及二次根式的化简等考点.
分析：先算绝对值、三角函数值、化简根式等，再进行加减乘除.
略解：原式 =
2
3 4 2 2 1
2
 
·······························································
4 分
=
3 2 2 2 2 1  
=
4
························································································
8 分
20..（本题满分 8 分）解方程：
x 2 1
x 1 x
 
.
考点：去分母法解分式方程、解一元一次方程.
分析：先去分母把分式方程化为整式方程，再解整式方程，注意验根.
略解：
   
2
x 2 x 1 x x 1  
···································································
2 分
2 2
x 2x 2 x x  
x 2
·····························································································
6 分
当
x 2
时，代入
 
x x 1 0 
···························································
7 分
所以原方程的解为
x 2
···································································
8 分
21.（本题满分 8 分）如图，⊙
O
中，弦
AB
与
CD
相交于点
E
,
AB CD
,连接
AD BC、
.
求证：⑴. ；⑵.
AE CE
.
考点：圆的等对等关系、圆周角定理的推论、等腰三角形的判定
分析：⑴.利用弦相等得出对应的弧相等，再利用等式的性质证得；
⑵.利用弧相等得到圆周角相等，然后利用“等角对等边”证得.
证明：
⑴.连接
AC
······························································
1 分
1
2
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