《【竞赛】三年级上册数学竞赛试题-人教版（含解析）》【课本】三年级（上）第14讲 树形图

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第十四讲
树形图
我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举．接下来我们将
要学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法．所谓树形
图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法．
画出树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树
枝”，每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“果实”．这样一直下
去把所有情况都画完，最后数一下“果实”的数目即可．
例题 1
练习 1
练习 2
乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第 1个，兔子不站在第 2个，
米老鼠不站在第 3个，请问它们共有多少种不同的站法？
分析：第 1个位置可以站哪些小动物？第 2个位置呢？以第一动物位置站的人作为“树根”，用树形
图表示出所有的站法．
甲、乙、丙、丁 4个人站队，站成一条直线．如果甲不站第 1、2个，乙不站
第2、3个，丙不站第 3、4个，丁不站第 4、1个，那么一共有多少种站队的
方法？
例题 2
小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两人中的任
何一人．先由小高拿球，第 1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过
4次传球之后，球又回到了小高手里．请问一共有多少种不同的传球过程？
分析：第 1次有多少种传法？试着用树形图画出每次传球后给谁．注意：只有第 4次传球后回到小高
手里上才是符合题意的传法．
有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶 A上，每次它都会从一片荷叶跳
到另一片荷叶上，结果它跳了 3次之后，不在荷叶 A上．请问：它一共有多少
种不同的跳法？
例题 3
一个四位数，每一位上的数字都是 0、1、2中的一个，并且相邻的两个数字
不同，一共有多少个满足条件的四位数？
分析：四位数的千位数字和个位数字分别有几种情况？应该选择哪个数位的数字作为“树根”来画树
形图？
练习 3
练习 4
古常
古古 常 常
一个三位数，每一位上的数字都是 5、6、7中的某一个，并且相邻的两个数字
不相同，一共有多少个满足条件的三位数？
例题 4
王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码．只记得密码是一个三
位数．这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且
没有比 5大的数字．试问：王老师最多需要试多少次就肯定能打开这个公文包？
分析：百位数字最小，有几种情况？把这些情况分别作为“树根”，画出树形图．
一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于 5，那么
这样的三位数一共有几个？
例题 5
常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛．如果最后常昊获胜了，
那么比赛的进程有多少种可能？
分析：试着把每场比赛的结果用树形图表示出来．注意：不会有
这样的过程出现，因为在这种情况下，赛完第
4场后古力已经获胜，不符合题意．
例题 6
5块六边形的地毯拼成了如下图的形状，每块地毯上都有一个编号，现在小高站在 1号地
毯上，他想要走到 5号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形
如果有公共边就成为相邻），并且只能向右边走，例如 1→2→3→5 就是一种可能的走法．
请问：小高一共有多少种不同的走法？

标签： #数学竞赛

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