《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》19.6 一次函数的应用（基础巩固）

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第十九章 一次函数
19.6 一次函数的应用（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建
模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽
象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环
节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意
的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点诠释：
要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
要点三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过
比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决
实际问题中的重要作用.
【典型例题】
类型一、简单的实际问题
例 1、甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从 A地出发前往 B地，甲出发 1h
后，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲的速度是　
　 km/h；
（2）当 1≤x≤5 时，求 y乙关于 x的函数解析式；
（3）当乙与 A地相距 240km 时，甲与 A地相距　
　 km．
1
【思路点拨】（1）根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度；
（2）利用待定系数法确定出 y乙关于 x的函数解析式即可；
（3）求出乙距 A地240km 时的时间，乘以甲的速度即可得到结果．
【答案与解析】解：（1）根据图象得：360÷6=60km/h；
（2）当 1≤x≤5 时，设 y乙=kx+b，
把（1，0）与（5，360）代入得： ，
解得：k=90，b= 90﹣，
则y乙=90x 90﹣；
（3）令 y乙=240，得到 x= ，
则甲与 A地相距 60× =220km，
故答案为：（1）60；（3）220
【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，解决问题的关键是确定函数解析式．
举一反三：
【变式】小刚、小强两人进行百米赛跑，小刚比小强跑得快，如果两人同时跑，小刚
肯定赢，现在小刚让小强先跑若干米，图中的射线
a
，
b
分别表示两人跑的路程与时间的
关系，根据图象判断：小刚的速度比小强的速度每秒快（　　）
A．1 米 B．1.5 米 C．2 米 D．2.5 米
【答案】D；
提示：由图象知小刚让小强先跑 20 米，用 8 秒时间追上小强，所以每秒快 2.5 米．故
选 D．图象的交点表示的实际意义：小刚用时 8 秒追上小强，距离出发点 64 米．
例 2、小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步
行到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的
2
速度不变），图中折线 ABCDE表示小丽和学校之间的距离 y（米）与她离家时间 x（分钟）
之间的函数关系．
（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；
（2）当 8≤x≤15 时，求 y与x之间的函数关系式．
【思路点拨】（1）根据函数图象，小丽步行 5 分钟所走的路程为 3900﹣3650=250 米，
再根据路程、速度、时间的关系，即可解答；
（2）利用待定系数法求函数解析式，即可解答.
【答案与解析】
解：（1）根据题意得：
小丽步行的速度为：（3900﹣3650）÷5=50（米/分钟），
学校与公交站台乙之间的距离为：（18﹣15）×50=150（米）；
（2）当 8≤x≤15 时，设 y=kx+b，
把 C（8，3650），D（15，150）代入得： ，
解得：
∴y=﹣500x+7650（8≤x≤15）．
【总结升华】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相
关信息，利用得到系数法求函数解析式．
类型二、方案选择问题
例3、某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销
售香水和护肤品．总公司现香水 70瓶，护肤品 30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40
瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．
（1）假设总公司分配给甲公司
x
瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润
W
与
x
之间
的函数关系式；
3
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