《九年级数学下册基础过关演练讲义（北师大版）》专题06 二次函数最小值问题（解析版）

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六、二次函数最小值问题
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：
（一）、已知两个定点：
1、在一条直线 m上，求一点 P，使 PA+PB 最小；
（1）点 A、B在直线 m两侧：
（2）点 A、B在直线同侧：
A、A’ 是关于直线 m的对称点。
2、在直线 m、n上分别找两点 P、Q，使
PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直
线 外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
1
m
B
A
P'
P
P
A
B
m
A
B
m
A
B
P
A
B
A'
n
m
A
B
n
m
A
B
Q
P
n
m
A
B
B'
（3）两个点都在内侧：
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点 A、B位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m分别上求点 D、E点，使
得围成的四边形 ADEB 周长最短.
变式二：已知点 A位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n分别上求点 P、Q点PA+PQ+QA
周长最短.
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
基本图形解析：
1、在一条直线 m上，求一点 P，使 PA 与PB 的差最大；
（1）点 A、B在直线 m同侧：
解析：延长 AB 交直线 m于点 P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而 PA—
PB=AB 此时最大，因此点 P为所求的点。
（2）点 A、B在直线 m异侧：
2
m
B
A
m
A
B
m
A
B
B'
P
P'
Q
P
n
m
A
B
P'
Q'
Q
P
n
m
A
B
B'
A'
n
m
A
B
m
n
A
B
E
D
m
n
A
B
A'
B'
m
n
A
P
Q
m
n
A
A"
A'
解析：过 B作关于直线 m的对称点 B’,连接 AB’交点直线 m于P,此时 PB=PB’，PA-PB 最大值
为AB’
1．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+4 经过 A（﹣1，0），B（4，0）两点，交 y轴于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 BC，求直线 BC 的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点 P，使 AP+PC 的值最小，求点 P的坐标，并求出此
时AP+PC 的最小值；
【解答】解：（1）把 A（﹣1，0），B（4，0）代入 y＝ax2+bx+4，得到 ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+3x+4．
（2）设 BC 的解析式为 y＝kx+b，
3
求最小值
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