《人教版九年级数学上册教学案》22.3 实际问题与二次函数 学案 学生版

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22.3 实际问题与二次函数
教学目标：
1. 能根据二次函数的性质，确定二次函数的最大（或最小）值。
2. 能根据具体问题中的数量关系，用相应的二次函数的概念、图形及性质解决现实生活中求最大面积、
最大利润、拱形建筑物的计算问题等。
3. 体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，感受数学的应用价值。
教学重难点： 
重点：会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题. 
难点：建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.
知识点一 二次函数的最值
一般地，当 >0（<0）时，抛物线 的顶点是最低（高）点，也就是说，当
时，二次函数 有最小（大）值 。
【例题】抛物线 y=（x﹣1）2+3（　　）
A．有最大值 1 B．有最小值 1 C．有最大值 3 D．有最小值 3
【变式 1】关于二次函数 y=﹣2（x﹣3）2+5 的最大值，下列说法正确的是（　　）
A．最大值是 3   B．最大值是﹣3  C．最大值是 5  D．最大值是﹣5
【变式 2】二次函数 y=﹣x2﹣4x+5 的最大值是（　　）
A．﹣7 B．5 C．0 D．9
【变式 3】已知二次函数 y=x2﹣4x+m 的最小值是﹣2，那么 m 的值是　  　．
知识点二 建立二次函数模型求生活中的最大（小）值问题
在日常生活中，经常会遇到求某种图形的最大面积或活力最大经济利润或怎么样最节省开支问题，利用
二次函数的图象和性质，便可以解决这类问题，即把这类问题转化为求二次函数的最大（小）值问题。解
决这类问题的一般步骤为：
（1）找等量：分析题目中的数量关系
（2）列式：列出函数解析式
（3）求最大（小）值；利用配方法把 化为 的形式或利用公式法确定最
值。
【例题】如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长
为 x 米，则菜园的面积 y（单位：米 2）与 x（单位：米）的函数关系式为多少？
　
【变式 1】如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃
的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米．
1
（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为 9 米，求此时自变量 x 的取值范围．
【变式 2】某养猪专业户利用一堵砖墙（长度足够）围成一个长方形猪栏，围猪栏的栅栏一共长 40m，设这
个长方形的相邻两边的长分别为 x（m）和 y（m）．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）若长方形猪栏砖墙部分的长度为 5m，求自变量 x 的取值范围．
知识点三 建立二次函数模型解决生活中的抛物线形问题
在生活实际中常碰到一下抛物线形的问题，如：拱形桥洞、涵洞、隧道洞、拱形门、球类的运动路线、
跳水运动员的运动路线等。对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决这
类问题的关键，然后用待定系数法求出函数解析式，利用函数性质解决问题。
【例题】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平
距离为 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为 3.05m，在如图
所示的平面直角坐标系中，篮球出手时离地面的高度是多少？
【变式 1】如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时水面宽 4m．水面下降1m，水面宽度为多少？
2
【变式 2】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从D 点正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，其运
行的高度 y（m）与运行的水平距离 x（m）满足关系式 y=a（x﹣k）2+h．已知球与 D 点的水平距离为6m 时，
达到最高 2.6m，球网与 D 点的水平距离为 9m．高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m，球是
否会过球网，是否会出界？
拓展点一 求二次函数的最大（小）值
【例题】当a≤x≤a+1 时，函数 y=x2﹣2x+1 的最小值为 1，则 a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．0 或 2D．﹣1 或 2
【变式 1】已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确
的是（　　）
 
A．有最大值 2，有最小值﹣2.5       B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5     D．有最大值 2，无最小值
拓展点二 建立二次函数模型求最大面积
3
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