《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第九讲 等腰三角形的性质定理（解析版）

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第九讲 等腰三角形的性质定理
2.3 等腰三角形的性质定理
【学习目标】
1. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．
2.掌握等边三角形的性质，并知道等腰与等边三角形的之间的联系．
3. 会利用等腰三角形和等边三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．
【基础知识】
1.等腰三角形的性质
性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于 60°.
性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形的性质的作用
证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
3.尺规作图：已知底边和底边上的高
已知线段 a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形 ABC,使底边 BC＝a,BC 边上的高线为 h.
作法：1.作线段 BC=a.
2.作线段 BC 的垂直平分线 l,交 BC 与点 D.
3.在直线 l 上截取 DA=h,连接 AB,AC.△ABC 就是所求作的等腰三角形.
4.等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。
要点：等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三
角形.
【考点剖析】
例1．等腰三角形的三边均为整数，且周长为 13，则底边是( )
1
A．1或3 B．3或5 C．1或5 D．1或3或5
【答案】D
【解析】
设底边为 x，根据题意要求可得 为整数，且 x＜6.5，可得出底边的取值．
设底边为 x，则腰长为 ，
∵等腰三角形的三边均为整数，
∴为整数，
x∵， ， 能构成三角形，
0∴＜x＜13-x，
x∴＜6.5 且x为正整数，
x∴可取 1，3，5，
故选 D.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和三角形三边的大小关系，有一定难度，明确三边均为整数是正确解答本题的
关键．
例2．在等腰△ABC 中，AB=AC，其周长为 16cm，则 AB 边的取值范围是（　　）
A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm
【答案】C
【解析】
设AB=AC=x，则 BC=16-2x,根据三角形的三边关系即可求出 AB 的取值范围.
在等腰△ABC 中，AB=AC,其周长为 16cm，
设设 AB=AC=cm，则 BC=16-2x,
依题意得 ,
解得 4cm＜AB＜8cm,
2
选C.
【点睛】
此题主要考察三角形的三边关系，熟知等腰三角形的性质、不等式的解法是关键.
例3．如图，若 是等边三角形， ， 是 的平分线，延长 到 ，使
，则
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
根据等边三角形三线合一得到 BD 垂直平分 CA，所以 CD= ，另有 ，从而求出 BE
的长度.
【详解】
解：由于△ABC 是等边三角形，则其三边相等，BD 也是 AC 的垂直平分线，即
AB=BC=CA=6，AD=DC=3，已知 CE=CD,则CE=3.而BE=BC+CE，因此 BE=6+3=9.
故答案选 C.
【点睛】
本题考察等边三角形性质，看到等边三角形应想到三条边相等，三线合一.
例4．如图， 为 边上一点，联结 ，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是
（ ）
3
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