《中考数学第二轮重难题型突破》类型一 最优方案问题（解析版）

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类型一 最优方案问题
例1． 某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现
需降价处理，且经市场调查：每降价 1元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提下，
解答下列问题：
（1）若设每件降价 元、每星期售出商品的利润为 元，请写出 与 的函数关系
式，并求出自变量 的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【答案】：当降价 2.5 元时，每星期的利润最大，最大利润是 6125 元.
【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进
价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.
【解析】： （1） y=(60－x－40)(300+20x) ＝6000+400x－300x－20x2
＝－20x2+100x+6000
自变量 的取值范围是 0≤x≤20.
（2）∵a＝－20<0，∴函数有最大值，
∵，.
∴当x=2.5 时，y的最大值是 6125.
∴当降价 2.5 元时，每星期的利润最大，最大利润是 6125 元.
例2 现有一块矩形场地，如图 1所示，长为 40m，宽为 30m，要将这块地划分为四块
分别种植： ．兰花； ．菊花； ．月季； ．牵牛花．
（1）求出这块场地中种植 菊花的面积 与 场地的长 之
间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．
（2）当 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
【答案】：当 时，种植菊米的面积最大， 最大面积
为225m2．
【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出 与 之
间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.
【解析】：（1）由题意知， 场地宽为 ，
1
图1
A
B
C
D
x3
0
4
0
x
∴， 自变量 的取值范围为 ．
（2） ，
当 时，种植菊米的面积最大， 最大面积为 225m2．
点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后
再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取
值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要
根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．
例3、 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图 1(1)所示）是边长为 0.4 米的正方形
ABCD，点 E
、
F分别在边 BC 和CD 上，△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制
成，制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、
10 元，若将此种地砖按图 1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形
EFGH．
(1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由；
(2)E
、
F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
【答案】：(1) 四边形 EFGH 是正方形．（2）当 CE=CF=0.1 米时总费用最省.
【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形 EFGH 是正方形。要注意图形中隐含
的条件，由图 1(2)可得△CEF 是等腰直角三
角 形 ，即可 说明 四边形 EFGH 是正方形 ；
（2）设 CE=x，则 BE=0.4－x，每块地砖的
费用为 y
，
分别求出△CFE、△ABE 和四边
形AEFD 的面积，再根据价格列出 y与x的
函数关系式，进而借助最值公式求得最小值。
【解析】：(1) 四边形 EFGH 是正方形．
图1(2)可以看作是由四块图 1(1)所示地砖绕 C点按顺(逆)时针方向依次旋转 90°后得
到的，故 CE=CF=CG=CH．∴△CEF
、
△CFG
、
△CGH
、
△CHE 是四个全等的等腰直角
三角形.因此 EF=FG=GH=HE，∠FEH= EFG= GHE= FGH=90°∠ ∠ ∠ ，因此四边形 EFGH
是正方形.
2
图1
(2)
A D
F
BEC
(1)
E
F
G
H
A
B
D
C
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