《中考数学二轮复习重难题型突破》类型三 新解题方法型（解析版）

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类型三新解题方法型
【典例 1】求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章
算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数 的一种方法——更相减损术，术曰：
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数
约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差
然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差 (或减
数)即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求 91 与 56 的最大公约数
　91－56＝35
56－35＝21
35－21＝14
21－1 4＝7
14 －7＝7
所以，91 与 56 的最大公约数是 7.
请用以上方法解决下列问题：
(1)求 108 与 45 的最大公约数；
(2)求三个数 78、104、143 的最大公约数．
【解答】解：(1)108－45＝63
63－45＝18
45－18＝27
27－18＝9
18－9＝9
所以，108 与 45 的最大公约数是 9；
(2)① 先求 104 与 78 的最大公约数，
104－78＝26
78－26＝52
52－26＝26
所以，104 与 78 的最大公约数是 26；
② 再求 26 与 143 的最大公约数，
143－26＝117
117－26＝91
91－26＝65
1
65－26＝39
39－26＝13
26－13＝13
所以，26 与 143 的最大公约数是 13.
综上所述，78、104、143 的最大公约数是 13.
【典例 2】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的
方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题
中的应用．
探究：求不等式|
x
－1|< 2 的解集
(1)探究|
x
－1|的几何意义
【解答】如图①，在以
O
为原点的数轴上，设点
A′
对应的数是
x
－1，由绝对值的定
义可知，点
A′
与点
O
的距离为|
x
－1|，可记为
A′O
＝|
x
－1|.将线段
A′O
向右平移 1 个
单位得到线段
AB
，此时点
A
对应的数是
x
，点
B
对应的数是 1.因 为
AB
＝
A′O
，所以
AB
＝|
x
－1|.因此，|
x
－1|的几何意义可以理解为数轴上
x
所对应的点
A
与 1 所对应的点
B
之间的
距离
AB
.
第 2 题图
(2)求方程|
x
－1|＝2 的解
【解答】因为数轴上 3 和－1 所对应的点与 1 所对应的点之间的距离都为 2，所以方程
的解为 3，－1.
(3)求不等式|
x
－1|<2 的解集
因为|
x
－1|表示数轴上
x
所对应的点与 1 所对应的点之间的距 离，所以求不等式解集
就转化为求这个距离小于 2 的点对应的数
x
的范围．
请在图②的数轴上表示|
x
－1|<2 的解集，并写出这个解集．
【解答】 解：在数轴上表示如解图所示．
第 2 题解图
所以，不等式的|
x
－1|<2 的解集为－1<
x
<3.
2
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