八年级数学暑假精品课程（沪教版）第8讲 一元二次方程的概念及其解法(教师版）

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第 8 讲 一元二次方程的概念及其解法
【学习目标】
一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开
平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法解一元二次方程．通
过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方法，公式法解一元二次方程提供依据，另一方面
也为后面学习函数奠定基础．
【基础知识】
一、一元二次方程的概念
1.整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．
2.一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2的的整式方程称作一元二次方程．
二、一元二次方程一般式
任何一个关于 的一元二次方程都可以化成 的形式，这种形式简称为一元二次方
程的一般式．其中 叫做二次项， 是二次项系数； 叫做一次项， 是一次项系数； 叫做常数项．
三、一元二次方程的解
能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的
解又叫做方程的根．
四、直接开平方法
如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直
接开平方法求解，这种方法适合形如 的形式求解．
【考点剖析】
考点一：一元二次方程的概念
例1．下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） （ 为已知数）；
（7） ．
【难度】★
【答案】（3）（7）是一元二次方程，其它都不是．
【解析】（1）中两个未知数，是二元二次方程；（2）中对式子进行整理，两边 项都消去 了 ， 剩 下
，为一元一次方程；（4）是分式方程；（5）是无理方程；（6）中未明 确说明 ，不可判定
为一元二次方程；（7）化简即为 ，是一元二次方程．
【总结】考查一元二次方的判定，从定义出发，有一个前提，先将方程化成一般形式才可以．
例2．判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
1
（1） （ 为有理数）；
（2） ．
【难度】★
【答案】（1） 时，是一元二次方程； 时，不是一元二次方程；
（2）不是一元二次方程．
【解析】（1）首先将方程整理成一般形式，即为： ，
根据二次项系数是否为 0进行分类讨论，可知： ，即 时，是一元二 次方程；
，即 时，不是一元二次方程；
（2） 时，显然不是一元二次方程； ，即 时，此时二次项系数
，也不为一元二次方程；可知方程（2）不是一元二次方程．
【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为 2，再看二次项系数是
否为 0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．
例3． 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】方程为一元二次方程，则有 ，同时 ，可得 ．
【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为 2，同时二次项系数不能为 0， 注 意 相 关
隐含条件．
例4．当 取何值时，方程 是一元二次方程．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】方程为一元二次方程，则有 ，同时 ，可得 ．
【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为 2，同时二次项系数不能为 0， 注 意 相 关
隐含条件．
例5．关于 的方程 ．
（1） 当 取何值时，方程为一元二次方程？
（2） 当 取何值时，方程为一元一次方程？
【难度】★★
【答案】（1） 时，原方程是一元二次方程；
（2） 时，原方程是一元一次方程．
【解析】（1） ，即 时，原方程是一元二次方程；
2
（2） ，即 时，方程最高次数是 1，方程要为一元一次方程，则必有
，可知 ，则 ，即 时，原方程是一元一次方程．
【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为 2，再看二次项系数是
否为 0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．
例6．已知关于 的方程 是一元二次方程，求 的取值范围．
【难度】★★
【答案】 ．
【解析】对方程进行整理，即为： ，方程为一元二次方程，则有 ， 即 ，
由此确定 的取值范围为 ．
【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为 2，同时 二次项系数不
能为 0，注意相关隐含条件．
考点二：一元二次方程一般式
例1．把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项和各项的系数．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【难度】★
【解析】（1）方程一般形式为 ；方程二次项为 ，二次项系数为 6；一次 项 为 ， 一
次项系数为 ；常数项为 ；
（2）方程一般形式为 ；方程二次项为 ，二次项系数为 2；一次项为 ， 一 次 项 系
数为 ；常数项为 4；
（3）方程一般形式为 ；方程二次项为 ，二次项系数为 2；一次 项 为 ， 一
次项系数为 ；常数项为 ；
（4）方程一般形式为 ；方程二次项为 ，二次项系数为 1；一次 项为 ，一
师生总结
一元二次方程的二次项系数为什么不能为 0？
怎样判断一个方程为一元二次方程？
方程是一元二次方程吗？
3
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