《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习2 一元二次方程的应用（解析版）

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练习 2 一元二次方程的应用
1．2020 年以来，受疫情影响，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”，商品网上零售
额得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件 40 元的商品，当销售单价为 80 元时，平均每天可销售
100 件；经数据分析发现，该商品单价每降 1元，每天销售量增加 10 件．
（1）当销售单价为 65 元时，每天的销售量为　 250 　 件；
（2）该商家想在每天获得 6000 元利润的前提下，最大程度让利于顾客，应将销售单价定为多少元？
【分析】（1）利用每天的销售量＝100+10×降低的价格，即可求出结论；
（2））设将销售单价定 为 x元 ， 则销售每 件商品的 利润 为（ x40﹣）元 ， 平 均每天的 销 售 量为
100+10（80﹣x）＝（900 10﹣x）件，根据总利润＝销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出
关于 x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）100+10×（80 65﹣）＝250（件）．
故答案为：250．
（2）设将销售单价定为 x元，则销售每件商品的利润为（x40﹣）元，平均每天的销售量为 100+10（80
﹣x）＝（900 10﹣x）件，
依题意，得：（x40﹣）（900 10﹣x）＝6000，
整理，得：x2130﹣x+4200＝0，
解得：x1＝60，x2＝70，
又∵要最大程度让利于顾客，
∴x＝60．
答：销售单价定为 60 元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求，满足职工群众对美好生活的新期待，促进城乡
1
加速融合，我市总工会决定对开展职工春秋（乡村）游活动予以推进．据统计，我市某农庄今年 7月接
待了 1280 人参观游玩，后几月每月都有增加，若 9月份该农庄接待了 2880 人参观游玩，且进入该农庄
参观游玩人数的月平均增长率相同．
（1）求该农庄游玩人数的月平均增长率；
（2）因条件限制，该农庄每月接待能力不超过 5000 人，在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不
变的条件下，该农庄能否全部接待 10 月份的参观游玩人数？并说明理由．
【分析】（1）设该农庄游玩人数的月平均增长率为 x，根据该农庄 7月及 9月接待参观游玩的人数，即
可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据 10 月份参观游玩的人数＝9月参观游玩的人数×（1+增长率），可求出 10 月份参观游玩的人
数，将其与 5000 比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该农庄游玩人数的月平均增长率为 x，
依题意，得：1280（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：该农庄游玩人数的月平均增长率为 50%．
（2）2880×（1+50%）＝4320（人），
4320∵＜5000，
∴该农庄能全部接待 10 月份的参观游玩人数．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．某商店进了一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，增加盈利，使库存减少
最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1元，商场平均每天多售出 2件，
当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到 1200 元？
【分析】设每件衬衫应降价 x元，则销售每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为
（20+2x）件，根据总利润＝销售每件的利润×日销售量，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其较
大值即可得出结论．
【解答】解：设每件衬衫应降价 x元，则销售每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为
（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10 时，20+2x＝40；
当x＝20 时，20+2x＝60．
2
∵要使库存减少最快，
∴x＝20．
答：当每件衬衫应降价 20 元时，商场平均每天盈利达到 1200 元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．如图，有长为 24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形
花圃，如果要围成面积为45m2的花圃，求 AB 的长度．
【分析】设 AB 长为 xm，则 BC 长为（24 3﹣x）m，根据围成花圃的面积为45m2，即可得出关于 x的一
元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设 AB 长为 xm，则 BC 长为（24 3﹣x）m．
依题意得：x（24 3﹣x）＝45，
整理得：x28﹣x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，BC＝24 9﹣＝15＞10 不成立，
当x＝5时，BC＝24 15﹣＝9＜10 成立．
答：AB 的长为 5m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．某体育用品店的“世园会纪念 T恤”每天销售 20 件，每件 T恤盈利 40 元．经过市场调查发现：如果T
恤每降价 1元，则每天多售出 2件．
（1）当降价 5元时，分别求每天售出的数量和每天的盈利；
（2）如果每天盈利 1200 元，那么 T恤降价了多少元？
【分析】（1）用原销售数量+2×下降的价格可得降价后的销售数量，用单件利润乘销售数量可得总利
润；
（2）设降价 x元，根据总利润＝每件利润×销售数量可得关于 x的一元二次方程，解之可得 x的值，从
而得出答案．
【解答】解：（1）当降价 5元时，每天售出的数量为 20+2×5＝30（件），每天的盈利为 30×（40 5﹣）
＝1050（元）；
（2）设降价 x元，
3
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