《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题1.10 《三角形的证明》全章复习与巩固（知识讲解）

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专题 1.10 《三角形的证明》全章复习与巩固（知识讲解）
【复习目标】
1. 了解等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的概念；理解等腰三角形 、
直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定；
2. 能用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定解一些决问
题；
3.会运用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、
角的平分线的知识解决有关问题．
【要点梳理】
知识点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：
　　(1)具有三角形的一切性质.
　　(2)两底角相等(等边对等角)
　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于 60°.
3.判定：
　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　(3)有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
　要点诠释：
　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
知识点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2 性质：
　(1)直角三角形中两锐角互余.
　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐
角等于 30°.
1
　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是
直角三角形.
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：
　　(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直
角三角形.
　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第
三边为斜边.
知识点三、垂直平分线
线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两
个端点的距离相等。
线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线
上.
知识点四、角的平分线
角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
角的平分线的判定定理：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【典型例题】
类型一、等腰三角形
1.如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分∠ABC 交 AC 于
点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD 的度数；
2
（2）求证：FB＝FE.
【答案】 （1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝
1
2
∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【思路点拨】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一
得出 AD BC⊥， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠ BAD 的度
数；
举一反三：
【变式】如图，已知：在四边形 ABCD 中，点 E在AD 上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC
＝∠D ， BC＝CE ．
3
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