《初中数学讲义》衔接教材23 函数的奇偶性与周期性（原卷版）

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衔接教材 23 函数的奇偶性与周期性
知识点讲解
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x，
都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f (x)就叫做偶函数 关于 y
轴 对称
奇函数
一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x，
都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f (x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋
T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f (x)为周期函数，称 T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x)的
最小正周期．
3.常用的结论
已知函数 f (x)满足下列条件，则函数 f (x)的周期为：
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．T＝2|a|；
(2)f (x＋a)＝(a≠0)． T＝2|a|；
(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．T＝|a－b|.
若f (x)对于定义域中任意 x，均有 f (x)＝f (2a－x)，或 f (a＋x)＝f (a－x)，则函数 f (x)关于直线 x ＝ a
对称．
4.易错警示
　(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间
上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题．(3)由函数奇偶性延伸可得到一些
对称性结论，如函数 f (x＋a)为偶函数(奇函数)，则 y＝f (x)的图象关于直线 x＝a对称(关于点(a,0)对称)．
经典例题解析
例 1 已知函数 f (x)的定义域为 R，当 x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，且函数 y＝f (x＋2)为偶函数，则下列结
论正确的是(　　)
A．f (π)<f (3)<f () B．f (π)<f ()<f (3)
C．f ()<f (3)<f (π) D．f ()<f (π)<f (3)
例2 设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为 R，下列结论错误的是(　　)
A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数
例3 设函数 f (x)在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且 g(x)＝f (x＋1)为偶函数，则不等式 g(2－2x)<0 的解集
1
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