《九年级数学上册计算力提升训练（人教版）》专训三十七：二次函数与几何综合：等腰三角形存在性判定 解析版

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计算力专训三十七：二次函数与几何综合：等腰三角形存在性判定
牛刀小试
1．（2020·温州市第二十三中学初三月考） 如图① 已知抛物线 （ ≠0）与 x轴交于点
A（1，0）和点 B （－3，0），与 y轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与 x轴交于点 N ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CNP 为等腰三角形？若存在，
请直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ； （2）存在， P（-1， ），P（-1，-），P（-1，-6），P（-1，-
）；
【解析】
【分析】
1
（1）由抛物线 （a≠0）点 A（1，0）和点 B （﹣3，0），由待定系数法就可以直接求出
a、b的值而求出抛物线的解析式；
（2）由（1）的解析式就可以求出 C点的坐标，求出 OC 的值，在 Rt CON△中由勾股定理就可以求出 CN
的值，CP1=NP1时，作 P1H CN⊥于H，由三角形相似就可以求出 P1N的值，从而求出 P1 的坐标；
【详解】
（1）如图①，
∵（a≠0）与 x轴交于点 A（1，0）和点 B （﹣3，0），
∴，解得： ，
∴；
（2）∵，
∴，
N∴（﹣1，0），
ON=1∴．
∴当x=0 时，y=﹣3，
C∴（0，﹣3），
OC=3∴．
在Rt CON△中，由勾股定理，得：CN= ，
当P1N=P1C时，△P1NC 是等腰三角形，作 P1H CN⊥，
2
NH=∴，△P1HN NOC∽△ ，
∴，
∴，
NP∴1=，
P∴1（﹣1， ），
当P4N=CN 时，P4N= ，∴P4（﹣1， ），
当P2N=CN 时，P2N= ，∴P2（﹣1，﹣ ），
当P3C=CN 时，P3N=6，∴P3（﹣1，﹣6）
P∴点的坐标为：（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣1，﹣6）和（﹣1， ）；
2．（2020·辽宁龙城·初三二模）如图 1，已知抛物线 y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点 A(1，0)和点 B(﹣
3，0)，与 y轴交于点 C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请
直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
3
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