《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第21讲 切线长定理(基础)（解析版）

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学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
切线长定理
【学习目标】
1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一
是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
2．切线的性质定理：
　　圆的切线垂直于过切点的半径.
要点诠释：
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
要点二、切线长定理
1．切线长：
　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：
　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
1
2．切线长定理：
　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点诠释：
　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
要点三、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
　　要点诠释：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外
接圆的圆心)
三角形三边中垂线的
交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一
定在三角形内部
内心(三角形内
切圆的圆心)
三角形三条角平分线
的交点
(1)到三角形三边距离相等；
(2)OA、OB、OC 分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
【典型例题】
类型一、切线长定理
1．如图，
PA
、
PB
、
DE
分别切⊙
O
于
A
、
B
、
C
，⊙
O
的半径长为 6 cm，
PO
＝10 cm，求△
PDE
的周长．
2
【答案与解析】
连结
OA
，则
OA
⊥
AP
．
在
Rt
△
POA
中，
PA
＝
22 OAOP
＝
22
610
＝8（cm）．
由切线长定理，得
EA
＝
EC
，
CD
＝
BD
，
PA
＝
PB
，
∴ △
PDE
的周长为
PE
＋
DE
＋
PD
＝
PE
＋
EC
＋
DC
＋
PD
，
＝
PE
＋
EA
＋
PD
＋
DB
＝
PA
＋
PB
＝16（cm）．
【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利
用切线长定理进行线段的转换．
2． 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于 D，E 为 BC 中点.
求证：DE 是⊙O 切线.
【答案与解析】
连结 OD、CD，AC 是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.
∵E 是 BC 的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，即 OD⊥ED，
∴DE 是⊙O 切线.
【总结升华】自然连接 OD，可证 OD⊥DE.
2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，
求证：DC 是⊙O 的切线．
　　　　　　　　　　　　
【答案与解析】　
3
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