《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题01 固定边的直角三角形与二次函数问题(原卷版)

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专题 01 固定边的直角三角形与二次函数问题
1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点 C为 (－
1，0)．如图 17 所示，B点在抛物线
2
1 1 2
2 2
y x x  
图象上，过点 B作BD⊥x轴，垂足为 D，且 B点横
坐标为－3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求 BC 所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P
的坐标；若不存在，请说明理由．
2、抛物线的顶点为（1，﹣4），与 x轴交于 A、B两点，与 y轴负半轴交于 C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P为对称轴右侧抛物线上一点，以 BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点 M落在对称轴上，求 P
点的坐标．
1
3、如图，抛物线
2
y ax bx 4  
经过
 
A 3,0
，
 
B 5, 4
两点，与 y轴交于点 C，连接
AB，AC，BC．
 
1
求抛物线的表达式；
 
2
求证：AB 平分
CAO
；
抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得
ABM
是以 AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点 M的
坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图，抛物线 y＝
1
2
x2+bx+c与x轴交于点 A（﹣1，0），B（4，0）与 y轴交于点 C，点 D与点 C关于
x轴对称，点 P是x轴上的一个动点，设点 P的坐标为（m，0），过点 P作x轴的垂线 1，交抛物线与点
Q．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 P在线段 OB 上运动时，直线 1交BD 于点 M，试探究 m为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形；
（3）在点 P运动的过程中，坐标平面内是否存在点 Q，使△BDQ 是以 BD 为直角边的直角三角形？若存在，
请直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，已知直线 y＝x+2 交x轴、y轴分别于点 A、B，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝
﹣
1
2
，且抛物线经过 A、B两点，交 x轴于另一点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 M是抛物线 x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点 M的坐标；
（3）过点 A作AB 的垂线交 y轴于点 D，平移直线 AD 交抛物线于点 E、F两点，连结 EO、FO．若△EFO
为以 EF 为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．
3
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