《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题02 一元二次方程根的判别式的六种用法(解析版)

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专题 02 一元二次方程根的判别式的六种用法
【专题说明】
对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子 b2－4ac 的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别
式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值
范围．
一、 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．已知方程 x2－2x－m＝0没有实数根，其中 m是实数，试判断方程 x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．
解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，
Δ∴1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即 m<－1.
对于方程 x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，
Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，
∴方程 x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．
2．已知关于 x的 方程 x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为 3，求 m的值．
解：(1)Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4m2－4m2＋4＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)将x＝3代入方程中，得
9＋2m×3＋m2－1＝0，即 m2＋6m＋9＝1，∴(m＋3)2＝1. m∴ ＋3＝±1.
m∴1＝－2，m2＝－4.
1
二、利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．已知关于 x的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论 m为何值，方程总有实数根；
(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
(1)证明：Δ＝[－(m＋2)]2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.
∵不论 m为何值，(m－2)2≥0，
即Δ≥0.
∴不论 m为何值，方程总有实数根 ．
(2)解：解关于 x的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0，得
x＝＝.
x∴1＝，x2＝1.
∵方程的 两个根都是正整数，
∴是正整数，∴m＝1或m＝2.
又∵方程的两 个根不相等，
m≠2∴ ，∴m＝1.
三、利用根的判 别式求代数式的值
4．已知关于 x的方程 x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．
解：∵关于 x的方程 x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，
Δ∴ ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，
即2m－1＝±4.
m∴ ＝或 m＝－.
2
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