《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题04 巧用一元二次方程根的判别式解图象的公共点问题(解析版)

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专题 04 巧用一元二次方程根的判别式解图象的公共点
问题
【专题说明】
解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况 ，用判别式来辅助计算．
判别式大于 0，则有两个公共点；判别式等于 0，则有一个公共点；判别式小 于 0，则没有公共点．
一、无公共点(Δ＜0)
1．反比例函数 y＝的图象如图所示，A，P为该图象上的点，
(第1题)
且关于原点成中心对称．在△PAB 中，PB y∥ 轴，AB x∥ 轴，PB 与AB 相交于点 B.若△PAB 的面积大于 1
2，则关于 x的方程(a－1)x2－x＋＝0的根的情况是________________．
没有实数根　点拨：设 P点坐标为(m，n)，则 A点坐标为(－m，－n)，B点坐标为(m，－n)．
由题意得 SPAB△＝·2m·2n＝2mn＝2(a＋4)＞12，解得 a＞2.
Δ∴ ＝(－1)2－4(a－1)×＝2－a＜0.　
∴关于 x的方程(a－1)x2－x＋＝0无实数根．
2．若反比例函数 y＝与一次函数 y＝x＋2的图象没有公共点，则 k的取值范围是________．[来源:学&
科&网k＜－1　点拨：∵反比例函数 y＝与一次函数 y＝x＋2的图象没有公共点，∴无解，即＝x＋2无解．
整理得 x2＋2x－k＝0，∴Δ＝4＋4k＜0.解得 k＜－1.
1
二、有唯一公共点(Δ＝0)
3．若反比例函数 y＝的图象经过点 P(a，b)，且 a，b为一元二次方程 x2＋kx＋4＝0的两根，那么点 P的坐
标是________， 到原点的距离为________．
(－2，－ 2)；2　点拨：∵点 P(a，b)在反比例函数 y＝的图象上，[来源:Z。xx。k.Com]
ab∴ ＝k.
a∵ ，b为一元二次方程 x2＋kx＋4＝0的两根，∴ab＝4.
k∴ ＝4. a∴ ＝b＝－2. P∴ 点坐标为(－2，－2)，到原点的距离为 2.
4．如图，将直 线 y＝x沿x轴负方向平移 4个单位长度后，恰好与双曲线 y＝(x＜0)有唯一公共点 A，并交
双曲线 y＝(x＞0)于B点，若 y轴平分△AOB 的面积 ，求 n的值．
(第4题)
解：直线 y＝x沿x轴负方向平移 4个单位长度后可得直线 y＝x＋4，由题意可得
整理得 x2＋4x－m＝0.
Δ∵ ＝0，
4∴2－4·(－m)＝0，即 m＝－4. [来源:学#科#网]
∴反比例函数 y＝的表达式是 y＝－.
将m＝－4代入 x2＋4x－m＝0，解得 x1＝x2＝－2，
A∴ 点坐标为(－2，2)．
2
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