《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题13 圆中的面积综合问题(解析版)

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专题 13 圆中的面积综合问题

1、已知：AB 是⊙O的直径，BD 是⊙O的弦，延长 BD 到点 C，使 AB＝AC，连接 AC，过点 D作

DE⊥AC，垂足为 E．

（1）求证：DC＝BD；

（2）求证：DE 为⊙O的切线；

（3）若 AB＝12，AD＝6，连接 OD，求扇形 BOD 的面积．

证明：（1）连接 AD，

∵AB 是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

又∵AB＝AC，

∴DC＝BD；

（2）连接半径 OD，

∵OA＝OB，CD＝BD，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠CED，

又∵DE⊥AC，

∴∠CED＝90°，

∴∠ODE＝90°，即 OD⊥DE．

∴DE 是⊙O的切线；

（3）∵AB＝12，AD＝6，

sin∴B＝＝＝，

∴∠B＝60°，

∴∠BOD＝60°，

∴S扇形 BOD＝＝6π．

2、如图，AB 是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长 CE 交AB 的延长线于点 D．

（1）求证：CE 为⊙O的切线；

（2）若 OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留 π）

（1）证明：连接 OE，

∵AC＝EC，OA＝OE，

∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，

∵AC⊥AB，

∴∠CAD＝90°，

∴∠CAE+∠EAO＝90°，

∴∠CEA+∠AEO＝90°，

即∠CEO＝90°，

∴OE⊥CD，

∴CE 为⊙O的切线；

（2）解：设 OF＝x，

∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，

∴OA＝2OF＝2x，

在Rt△OEF 中，由勾股定理得：，

解得 x＝2，

∴OA＝4，

∴，

∵∠AOE＝120°，AO＝4；

∴，

∴．

3、如图，以△ABC 的边 AB 为直径画⊙O，交 AC 于点 D，半径 OE∥BD，连接 BE，DE，BD，设 BE 交AC

于点 F，若∠DEB＝∠DBC．

（1）求证：BC 是⊙O的切线；

（2）若 BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．

证明：（1）∵AB 是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠A+∠ABD＝90°，

∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，

∴∠A＝∠DBC，

∵∠DBC+∠ABD＝90°，

∴BC 是⊙O的切线；

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