《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题11 菱形在二次函数中的综合问题(原卷版)

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专题 11 菱形在二次函数中的综合问题
1、如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c与x轴交于点 A，B，AB＝2，与 y轴交于点 C，对称轴为直线 x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图像，直接写出不等式 x2＋bx＋c＞0的解集： ．
（3）设 D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点 D的
坐标为： ．
2、如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 .
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 是直线 下方的抛物线上一动点（不点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交直线
于点 ，设点 的横坐标为 .
① 用含 的代数式表示线段 的长；
1
② 连接 ， ，求 的面积最大时点 的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 是抛物线的对称轴上一点， 为 轴上一点，是否存在
这样的点 和点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点
的坐标；如果不存在，请说明理由.
3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x轴交于 A、B两点，B点的坐标为
（3，0），与 y轴交于点 C（0，﹣3），点 P是直线 BC 下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数 y=x2+bx+c 的解析式．
（2）连接 PO，PC，并将△POC 沿y轴对折，得到四边形 POP′C，如果四边形 POP′C 为菱形,求点 P的坐
标．
（3）如果点 P在运动过程中，能使得以 P、C、B为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点 P的坐标．
4、如图，在平面直角些标系中，二次函数 y＝ax2+bx﹣的图象经过点 A（﹣1，0），C（2，0），与 y
轴交于点 B，其对称轴与 x轴交于点 D．
2
（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；
（2）若 P为y轴上的一个动点，连接 PD，求 PB+PD 的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点 N，使得以 A、B、M、N为顶点的四边形为
菱形，则这样的点 N共有　 　个．
5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象与 x轴交于 A、B两点，A点的坐标为（﹣
3，0），B点在原点的左侧，与 y轴交于点 C（0，3），点 P是直线 BC 上方的抛物线上一动点
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接 PO、PC，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形 POP′C（如图 1所示），那么是否存在点 P，使
四边形 POP′C为菱形？若存在，请此时点 P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点 P运动到什么位置时，四边形 ABCP 的面积最大，并求出其最大值．
6、如图，抛物线 与 y轴交于 A点，过点 A的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B作
BC⊥x轴，垂足为点 C(3，0).
（1）求直线 AB 的函数关系式；
（2）动点 P在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C移动，过点 P作PN⊥x轴，交直线 AB 于
点M，交抛物线于点 N. 设点 P移动的时间为 t秒，MN 的长度为 s个单位，求 s与t的函数关系式，并写出
t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点 P与点 O，点 C重合的情况），连接 CM，BN，当 t为何值时，四边
3
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