《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题11 菱形在二次函数中的综合问题(解析版)

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专题 11 菱形在二次函数中的综合问题

1、如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c与x轴交于点 A，B，AB＝2，与 y轴交于点 C，对称轴为直线 x＝2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）根据图像，直接写出不等式 x2＋bx＋c＞0的解集：．

（3）设 D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点 D的

坐标为：．

【答案】（1）y＝x2－4x＋3；（2）x＜1或x＞3；（3）（2，－1）

【解析】（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线 x＝2．

∴点 A的坐标是（1，0），点 B的坐标是（3，0）．

把A、B两点的坐标代入得：

，解得：

，

∴抛物线的函数表达式为 y＝x2－4x＋3；．

（2）由图象得：不等式 x2＋bx＋c＞0，即 y＞0时，x＜1或x＞3；

故答案为：x＜1或x＞3；

（3）（2，－1）．

y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴顶点坐标为（2，-1），

当E、D点在 x轴的上方，即 DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，

如图，根据“菱形 ADBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点 D是抛物线 y=x2-4x+3 的顶点

坐标，即（2，-1），

故答案是：（2，-1）．

2、如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点 .

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线

于点，设点的横坐标为 .

① 用含的代数式表示线段的长；

② 连接，，求的面积最大时点的坐标；

（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在

这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点

的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）y＝x24﹣x+3；（2）①用含 m的代数式表示线段 PD 的长为﹣m2+3m；②△PBC 的面积最大

时点 P的坐标为（，﹣ ）；（3）存在这样的点 M和点 N，使得以点 C、E、M、N为顶点的四边形是

菱形．点 M的坐标为 M1（2，3），M2（2，1 2﹣），M3（2，1+2 ）．

【解析】

（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点 A（1，0）和点 B（3，0），与 y轴交于点 C，

∴ ，解得，

∴抛物线解析式为 y＝x24x+3﹣；

（2）①设 P（m，m24m+3﹣），

将点 B（3，0）、C（0，3）代入得直线 BC 解析式为 yBC＝﹣x+3．

∵过点 P作y轴的平行线交直线 BC 于点 D，

∴D（m，﹣m+3），

∴PD＝（﹣m+3）﹣（m24m+3﹣）＝﹣m2+3m．

答：用含 m的代数式表示线段 PD 的长为﹣m2+3m．

②S△PBC＝S△CPD+S△BPD

＝OB•PD＝﹣ m2+ m

＝﹣ （m﹣）2+．

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