《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题10 矩形在二次函数中的综合问题(原卷版)

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专题 10 矩形在二次函数中的综合问题

1、如图，已知抛物线与 y轴相交于点 A（0，3），与 x正半轴相交于点 B，对称轴是直

线x=1．

（1）求此抛物线的解析式以及点 B的坐标．

（2）动点 M从点 O出发，以每秒 2个单位长度的速度沿 x轴正方向运动，同时动点 N从点 O出发，以每

秒3个单位长度的速度沿 y轴正方向运动，当 N点到达 A点时，M、N同时停止运动．过动点 M作x轴的

垂线交线段 AB 于点 Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t秒．

①当t为何值时，四边形 OMPN 为矩形．

②当t＞0时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t的值；若不能，请说明理由．

2、如图，抛物线 y＝﹣

x2+

x+2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C．

（1）求 A，B，C的坐标；

（2）直线 l：y＝﹣

x+2 上有一点 D（m，﹣2），在图中画出直线 l和点 D，并判断四边形 ACBD 的形

状，说明理由．

3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+bx+c的图象与 x轴交于 A、B两点，A点在原点的左侧，

B点的坐标为（3，0），与 y轴交于 C（0，﹣3）点，点 P是直线 BC 下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接 PO、PC，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形 POP′C，那么是否存在点 P，使四边形 POP′C为

菱形？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点 P运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC 的最大面

积．

4、如图：在平面直角坐标系中，直线 l：y=

x﹣

与x轴交于点 A，经过点 A的抛物线 y=ax23x+c﹣ 的对

称轴是 x=

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线 l经过原点 O，得到直线 m，点 P是直线 m上任意一点，PB x⊥轴于点 B，PC y⊥轴于点

C，若点 E在线段 OB 上，点 F在线段 OC 的延长线上，连接 PE，PF，且 PE=3PF．求证：PE PF⊥；

（3）若（2）中的点 P坐标为（6，2），点 E是x轴上的点，点 F是y轴上的点，当 PE PF⊥时，抛物线上

是否存在点 Q，使四边形 PEQF 是矩形？如果存在，请求出点 Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

5、如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于 A，B两点(点A在点

B的左侧)，经过点 A的直线 l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD＝

4AC．

(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)求直线 l的函数解析式(其中 k，b用含 a的式子表示)；

(3)点E是直线 l上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为，求 a的值；

(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点 Q在抛物线上，以点 A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，直接写出点 P的坐标；若不能，请说明理由．

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