《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题07 相似三角形判定在二次函数中的综合问题(解析版)

3.0 envi 2025-02-08 19 4 821.69KB 44 页 3知币

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专题 07 相似三角形判定在二次函数中的综合问题

1、如图，抛物线 y=ax2+bx+c 过原点 O、点 A （2，﹣4）、点 B （3，﹣3），与 x轴交于点 C，直线 AB

交x轴于点 D，交 y轴于点 E．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

（2）直线 AF x⊥轴，垂足为点 F，AF 上取一点 G，使△GBA AOD∽△ ，求此时点 G的坐标；

（3）过直线 AF 左侧的抛物线上点 M作直线 AB 的垂线，垂足为点 N，若∠BMN= OAF∠，求直线 BM 的

函数表达式．

【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2，

−8

）；（3）y=

−1

3x −2

或y=-3x+6．

【解析】（1）解：将原点 O（0,0）、点 A （2，﹣4）、点 B （3，﹣3），分别代入 y=ax2+bx+c，

得，解得，

y=x∴2-4x= ，

∴顶点为（2，-4）.

（2）解：设直线 AB 为y=kx+b，

由点 A（2，-4），B（3，-3），得

解得，

∴直线 AB 为y=x-6.

当y=0 时，x=6，∴点 D（6，0）.

∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），

OA= ∴，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，

DF=AF∴，又∵AF x⊥轴，

AD0= DAF=45°∴∠ ∠ ，

GBA AOD∵△ ∽△ ，

∴，

解得，

FG=AF-AG=4- ∴，

∴点G（2，）.

（3）解：如图 1，

BMN= OAF∵∠ ∠ ，，

MBN= AOF∴∠ ∠ ，

设直线 BM 与AF 交于点 H，

ABH= AOD∵∠ ∠ ，∠HAB= ADO∠，

∴

∴，

则，解得 AH= ，

H∴（2，）.

设直线 BM 为y=kx+b，∵将点 B、G的坐标代入得，解得．

∴直线 BM 的解析式为 y= ；

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