《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题06 二次函数中的三角形的综合问题(解析版)

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专题 06 二次函数中的三角形的综合问题
1、如图，动直线 y＝kx+2（k＞0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y＝
1
4x2+1
相交于 A，B 两点，过点
A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．
【答案】△CFD 是直角三角形．见解析。
【解析】
1
4
x2+1＝kx+2，
1
4
x2kx 1﹣ ﹣ ＝0，
x＝2k±2
√
k2+1
，
x∴1＝2k 2﹣
√
k2+1
，x2＝2k+2
√
k2+1
，
OD∴＝2k+2
√
k2+1
，OC＝2
2k﹣ ，
DC2＝（2k+2
√
k2+1
+2
√
k2+1
2k﹣ ）2＝16（k2+1），
CF2＝22+（2
√
k2+1
2k﹣ ）2＝8k28k﹣
√
k2+1
+8，
DF2＝22+（2k+2
√
k2+1
）2＝8k2+8k
√
k2+1
+8，
DC∴2＝CF2+DF2，
1
CFD∴∠ ＝90°，
故△CFD 是直角三角形．
2、如图，已知直线 y＝﹣x+4 分别交 x轴、y轴于点 A、B，抛物线过 y＝ax2+bx+c 经过 A，B两点，点 P
是线段 AB 上一动点，过点 P作PC x⊥轴于点 C，交抛物线于点 D．
（1）若抛物线的解析式为 y＝﹣
1
2
x2+x+4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N．
①求点M、N的坐标；
② 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由；
（2）当点 P的横坐标为 2时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) M① （1，
9
2
），N（1，3）； ②见解析;(2)见解析.
【解析】解：（1）① y＝﹣
1
2
x2+x+4＝﹣
1
2
（x 1﹣ ）2+
9
2
，
∴顶点 M的坐标为（1，
9
2
），
当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，
∴点N的坐标为（1，3）；
② 不存在．理由如下：
MN＝
9
2
﹣3＝
3
2
，
2
设点 P 的坐标为（m，﹣m+4），则 D（m，﹣
1
2
m2+m+4），
PD＝﹣
1
2
m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣
1
2
m2+2m，
PD MN∵ ∥ ．
∴当PD＝MN 时，四边形 MNPD 为平行四边形，
即﹣
1
2
m2+2m＝
3
2
，解得：m＝1或3（m＝1舍去），
∴点P（3，1），由 N（1，3），
PN∴＝
√
(
3−1
)
2+
(
3−1
)
2= 2
√
2
≠MN，
∴平行四边形 MNPD 不是菱形，
即：不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形；
（2）①当∠BDP＝90°时，点 P（2，2），则四边形 BOCD 为矩形，
D∴（2，4），又 A（4，0），B（0，4），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣
1
2
x2+x+4；
② 当∠PBD＝90°时，△PBD 为等腰直角三角形，
则PD＝2xP＝4，
D∴（2，6），又 A（4，0），B（0，4），
3
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