《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题04 几何证明之三角形中的旋转综合问题(原卷版)

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专题 04 几何证明之三角形中的旋转综合问题
1、如图，点 P是∠MON 内的一点，过点 P作PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B，且 OA＝OB．
（1）求证：PA＝PB；
（2）如图②，点 C是射线 AM 上一点，点 D是线段 OB 上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若 OC＝
8，OD＝5．求线段 OA 的长．
（3）如图③，若∠MON＝60°，将 PB 绕点 P以每秒 2°的速度顺时针旋转，12 秒后，PA 开始绕点 P以
每秒 10°的速度顺时针旋转，PA 旋转 270°后停止，此时 PB 也随之停止旋转．旋转过程中，PA 所在直
线与 OM 所在直线的交点记为 G，PB 所在直线与 ON 所在直线的交点记为 H．问 PB 旋转几秒时，PG＝
PH？
2、（1）问题发现：
如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接 AC，BD 交于点
M．
1
填空：① 的值为　 　；
②∠AMB 的度数为　 　．
（2）类比探究：如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接
AC 交BD 的延长线于点 M．请求出 的值及∠AMB 的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD 绕点 O在平面内旋转，AC、BD 所在直线交于点 M，若
OD＝1，OB＝ ，请直接写出当点 C与点 M重合时 AC 的长．
3、已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中 a、b、c满足
＝0．
（1）求△ABC 的面积；
（2）将线段 BC 向右平移至 AD（点 B对应点 A，点 C对应点 D）．
①当点 M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF 分别平分∠CMO 与∠DCM，若∠AME＝
α，∠DCF＝β，试用含 α的代数式表示 β；
②点P为线段 CD 上一点（不与点 C、D重合），P的横坐标为 t，连接 BP、AC，BP 交y轴于点 E，交
AC 于点 Q，若△CQE 与△PQA 的面积分别为 S1，S2，试用含 t的代数式表示 S2﹣S1．
2
4、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点 A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点 D的坐标；
（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD 绕点 A逆时针方向旋转得到△ACE，点 B，D的对应点分别为 C，E．
连接 DE，BD 的延长线与 CE 相交于点 F．
①求DE 的长；
②证明：BF⊥CE．
（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE 绕点 A在平面内旋转一周，在旋转过程中点 D，E的对应点分别为
D1，E1，点 N，P分别为 D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN 面积 S的变化范围．
5、问题发现：如图（1）在 Rt△ABC 和Rt△BDE 中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE 绕点 B逆
时针旋转，H为CD 的中点，当点 C与点 E重合时，BH 与AE 的位置关系为　 　，BH 与AE 的数量
关系为　 　；
问题证明：在 Rt△BDE 绕点 B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情
形给出证明若不成立，请说明理由；
3
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