《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题04 等腰三角形与二次函数的分类讨论问题(解析版)

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专题 04 等腰三角形与二次函数的分类讨论问题
1、如图，二次函数 y＝ax2+bx+4的图象与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的右侧），与 y轴交于点 C，点
A的坐标为（2，0），它的对称轴是直线 x＝﹣1．
（1）直接写出点 B，点 C的坐标.
（2）求这个二次函数的解析式．
（3）若点 P在x轴上，且△PBC 为等腰三角形，请求出线段 BC 的长并直接写出符合条件的所有点 P的坐
标．
【答案】(1) B（-4,0）,C（0,4）;(2) y＝﹣
1
2
x2﹣x+4；(3)BC=4
√
2
，P（0，0）或（﹣4+4
√
2
，0）或
（﹣4﹣4
√
2
，0）或（4，0）.
【解析】(1)解：由对称轴是直线 x=-1,点 A 坐标为(2,0)，以及二次函数
y=a x2+bx+4
，易得 B（-
4,0）C（0,4）
(2)根据题意得，
¿
，
解得，
¿
，
∴二次函数的解析式 y＝﹣
1
2
x2﹣x+4；
（2）由（1）得 B（﹣4，0），C（0，4），
∴BC＝
√
（-4 ）2+42
＝4
√
2
；
1
设 P（m，0），
∵B（﹣4，0），C（0，4），
∴BP2＝（m+4）2，CP2＝m2+16，
∵△PBC 是等腰三角形，
∴① 当 BP＝CP 时，
∴（m+4）2＝m2+16，
∴m＝0，
∴P（0，0）
② 当 BP＝BC 时，
∴（m+4）2＝32，
∴m＝﹣4±4
，
∴P（﹣4+4
√
2
，0）或（﹣4﹣4
√
2
，0）
③ 当 CP＝BC 时，m2+16＝32，
∴m＝4 或 m＝﹣4（舍去），
∴P（4，0），
2
即：符合条件的所有点 P 的坐标为 P（0，0）或（﹣4+4
√
2
，0）或（﹣4﹣4
√
2
，0）或（4，0）.
2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
8y ax bx  
与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直
线 l 经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 CE，已知点 A，D 的坐
标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B 和点 E 的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点 F，使
FOE
≌
FCE
，若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，
请说明理由；
（3）若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线 PB 与直线 l 交于点 Q．试探究：当 m
为何值时，
OPQ
是等腰三角形．
【答案】（1）
2
13 8
2
y x x  
；B（8,0）；E（3，-4）；
（2）（
3 17, 4 
）或（
3 17, 4 
）；
（3）
8
3
或
32
3
.
【解析】
3
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