《九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）》专题07 与相似有关的分类讨论（解析版）

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九年级数学下册解法技巧思维培优
专题 07 与相似有关的分类讨论
典例题型：
1．（2020•河北模拟）如图，已知点 P是Rt△ABC 的斜边 BC 上任意一点，若过点 P作直线 PD 与直角边
AB 或AC 相交于点 D，截得的小三角形与△ABC 相似，那么 D点的位置最多有（　　）
A．2处B．3处C．4处D．5处
【点睛】过点 P作直线 PD 与直角边 AB 或AC 相交于点 D，截得的三角形与原三角形有一个公共角，只
需作一个直角即可．
【详解】
解：∵截得的小三角形与△ABC 相似，
∴过P作AC 的垂线，作 AB 的垂线，作 BC 的垂线 2种，所截得的三角形满足题意，
则D点的位置最多有 4处，
故选：C．
2．（2020•杭州模拟）已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点 E和F，把这两点分别与底边
1
中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条
边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（　　）
A．
4
3
B．
24
5
C．
4
3
或
24
5
D．
2
3
或
12
5
【点睛】分两种情况：点 A为等腰三角形的顶点，点 D为底边的中点与点 D为等腰三角形的顶点，点 A
为底边的中点，利用等腰三角形的性质与相似三角形对应边的比相等的性质进行分析求解即可．
【详解】解：如图 1，当 A为等腰三角形的顶点，点 D为底边的中点时，设 BD＝DC＝a，AB＝AC＝
b，则 BE＝b2﹣，CF＝b4﹣，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵BD＝DC，BE≠CF，DE≠DF，
∴点B与点 C、点 E与点 D，点 D与点 F为对应点，即△BED∽△CDF，
∴BE：CD＝ED：DF＝BD：CF，即（b2﹣）：a＝3：2＝a：（b4﹣），
解得 a
¿12
5
，
∴BC＝2a
¿24
5
；
2
如图 2，当点 D为等腰三角形的顶点，点 A为底边的中点时，设 BA＝AC＝a，BD＝CD＝b，则 BE＝b
3﹣，CF＝b2﹣，
∵BD＝CD，
∴∠B＝∠C，
∴点B与点 C为对应点，
若点 E与点 F、点 A与点 C为对应点，
由△BEA∽△CFA，可得 BE：CF＝EA：FA＝BA：CA，即（b3﹣）：（b2﹣）＝2：4＝a：a，无解；
若点 E与点 A，点 A与点 F为对应点，
由△BEA∽△CAF，可得 BE：CA＝EA：AF＝BA：CF，即（b3﹣）：a＝2：4＝a：（b2﹣），解得 a
，b
¿10
3
，
此时 BA
¿2
3
，BE＝b3﹣
¿1
3
，BE、BA、EA 不能构成三角形，故此种情况不成立；
综上所述，这个等腰三角形底边长为
24
5
．
故选：B．
3．（2020•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点 C在第一象限，若以 A、B、C
为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点 C的个数是（　　）
3
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