《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题8几何图形变化—8.13之翻折探究2直角三角形

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类型三：直角三角形

【经典例题 3】综合与实践

问题情境

在一节数学活动课上，李老师让每个学习小组拿出课前就制作好的

Rt△ABC，其中 AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，通过折叠，展开数学活动．

探究发现

(1)“自强”小组将 Rt△ABC 折叠使点 B与点 C重合，折痕为 DE，如图①，

他们很快研究出了 S△ADC：S△DEC 的值. 请你写出计算过程；

(2)“奋进”小组将 Rt△ABC 折叠使点 B与点 A重合，折痕为 DE，如图②，

有同学认为图①、图②两种折叠方法折痕 DE 的长是相等的．你同意他的观点

吗？请说出你的理由；

问题解决

(3)“开拓”小组将∠B沿DE 折叠，使点 B落在了点 B′，且 B′E⊥AB 于点

F，如图③.当AD＝8时，试判断以 B′、D、C、A为顶点的四边形的形状，并说

明理由；

(4)“创新”学习小组用“开拓”学习小组的折叠方法使点 F恰好是边 AB 的

中点．除∠A与∠B互余外，你还能发现哪些互余的角，写出一组，不需要证

明．

第2题图

【解析】(1)∵将Rt△ABC 折叠使点 B与点 C重合，折痕为 DE，

∴DE 垂直平分线段 BC，即 DE 为Rt△ABC 的中位线，

∴DE＝AC，

∵△ADC 边AC 上的高与△DEC 边DE 上的高相等，

∴S△ADC∶S△DEC＝；(3 分)

(2)不同意；

理由如下：

图①中，DE＝AC＝，

图②中，易证△BDE∽△BCA，

∴＝，

在Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB＝13，

由折叠可知 DE 垂直平分 AB，

∴BD＝AB＝，

∴＝，解得 DE＝≠，

即图①、图②两种折叠方法折痕 DE 的长是不相等的；(6 分)

(3)平行四边形；

理由如下：

如解图①，延长 B′D交BC 于点 G，

∵B′E⊥AB，

∴∠B′FD＝∠BFE＝90°，

∴∠B＋∠BEF＝90°，

由折叠可知∠B＝∠DB′E，BD＝B′D＝13－8＝5，

∴∠DB′E＋∠BEF＝90°

∴∠B′GE＝90°，即 B′G⊥BC，

∴B′G∥AC，

又∵B′D＝AC＝5，

∴以B′、D、C、A为顶点的四边形是平行四边形；(10 分)

第2题解图①

(4)(答案不唯一)∠B与∠B′DF 互余(∠B与∠BEF 互余)．(12 分)

证明：如解图②，由折叠性质可知，∠B＝∠B′，

又∵B′E⊥AB，

∴∠DFB′＝90°，

∴∠B′＋∠B′DF＝90°，

∴∠B＋∠B′DF＝90°，

即∠B与∠B′DF 互余．

第2题解图②

练习 3-1 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，对角线 AC，BD 相交于点

O，点 P为边 AD 上一动点，连接 OP，以 OP 为折痕，将△AOP 折叠，点 A的

对应点为点 E，线段 PE 与OD 相交于点 F．若△PDF 为直角三角形，则 DP 的

长为　 5/2

或

　．

【解析】如图 1，当∠DPF＝90°时，过点 O作OH AD⊥于H，

∵四边形 ABCD 是矩形，

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