第1章 直角三角形-八年级数学下册易混易错知识点汇总(湘教版)

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第一章 直角三角形
【知识点 1】
一、直角三角形的性质
性质 1：直角三角形 两锐角互余.
性质 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质 3：直角三角形中 30o所对的直角边等于斜边的一半.
二、直角三角形的判定
判定 1：有两个角互余的三角形是直角三角形.
判定 2：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形.
【易错点】
【易错点 1】忽略了运用直角三角形的性质的前提条件
在运用直角三角形的性质时，它的前提是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，
那么这些性质就不存在了，所以运用时要注意前提条件。
、如图 1-1，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，∠A=60°，则∠BCD 的度数为
（ ）
A.30° B.60° C.90° D.无法确定
【错解】：B
【错解分析】：在本题中没有指明△ABC 是直角三角形，故不能利用直角三角形的性质进行计算。
错解中想当然地认为△ABC 是直角三角形，然后利用了直角三角形的性质，进而造成错解。
【正解】：D
、如图 1-2，在△ABC 中，∠ABC=75°，从顶点 B引射线 BD 与CA 交于 D点，
使∠CDB=30°，BD=AD。求证：AD=2BC。
【错解】：在△BCD 中，∵∠CDB=30°，∴BC=
1
2
BD。
∵BD=AD，∴BC=
1
2
AD，即 AD=2BC。
【错解分析】：在本题中没有指明∠C=90O，故不能直接利用直角三角形的性质进行计算。在本
图1-1
图1-2
题中应该先利用已知条件证出∠C=90O，再利用直角三角形的性质证明 BD=2BC,进而得出 AD=2BC。
【正解】：∵∠CDB=30°，BD=AD ∴∠A=∠ABD=
1
2
∠CDB=15°
∵∠ABC=75° ∴∠A+∠ABC=90°
∴∠C=90°
在Rt△BCD 中，∵∠CDB=30° ∴BC=
1
2
BD
∵BD=AD ∴BC=
1
2
AD，即 AD=2BC。
【针对性练习】1、在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，若 AB=6，则 CD 的长是（
）
A.2 B.3 C.6 D.无法确定
【错解】：B
【正解】：D
【方法总结】“直角三角形两锐角互余”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在
直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这三个定理是直角三角形
特有的性质时，所以在运用这几个性质时一定要注意前提条件是“在直角三角形中”。
【易错点 2】误用直角三角形的性质
、如图 1-3，在△ABC 中，∠ACB=90°，BD=CD。求证：CD=AD。
【错解】：在△ABC 中，∵∠ACB=90°， ∴BD=CD。
∴CD=
1
2
AB=AD，
【错解分析】：在本题已知条件中没有告诉点 D为直角三角形斜边上的中点，故不能利用直角三角
形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来证明。
【正解】：∵BD=CD， ∴∠BCD=∠B
∵∠ACB=90° ∴∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠A=90°
∴∠ACD=∠A ∴CD=AD
【针对性练习】2、如图 1-4，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠ABC 的平
分线为 BD,且AD 的长为 15cm,求AC 的长
图1-3
2
【错解】：在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∠ABC=60°,BD 平分∠A BC
∴∠A=30°, ∠CBD=
1
2
∠ABC=30°
∴AC=2BC,BC=2CD ∴AC=4CD 即CD=
1
4
AC
又∵AD+CD=AC 且 AD=15cm ∴AC=20cm
【正解】：在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∠ABC=60°,BD 平分∠ABC
∴∠A=30°, ∠CBD=∠ABD=
1
2
∠ABC=30° ∴CD =
1
2
BD, ∠A=∠ABD
∴AD=BD ∴CD=
1
2
AD
又∵AD+CD=AC 且 AD=15cm ∴AC=
3
2
AD= 22.5cm
【方法总结】运用直角三角形的性质解题时，如果审题不清或对直角三角形的性质理
解不透彻的话，都会出现误用直角三角形的性质解题的现象，从而出现解题过程或解题结
果出现错误。
【易错点 3】因题目中没有图形而忽视分类讨论
对于一些求三角形（尤其是等腰三角形）的边长和角的度数的题目，当没有给出三角
形的形状时，要注意分情况考虑，防止漏解.
、在△ABC 中，∠ABC=∠C，BD 是AC 边上的高，∠ABD=30°，求∠C的度数.
【错解】：如图 1-5.在△ABC 中，∵BD 是AC 边上的高 ∴∠ADB=90°,
∴ ∠A=90°-∠ABD=90°-30°=60°
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ∴∠ABC+∠C=120°
又∵∠ABC=∠C ∴∠ABC=∠C=60°，即∠C=60°.
【错解分析】：当题目中没有直接给出图形时，要注意分情况讨论，全面考虑.
三角形可能是锐角三角形，也可能是纯角三角形.
图1-4
图1-5
3
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