初高中衔接数学（人教版）衔接点04 高次方程，根式方程和分式方程的解（解析版）

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衔接点 04 高次方程，根式方程和分式方程的解
【基础内容与方法】
高次方程主要指未知数指数大于等于 2的方程，其解法主要是换元法和因式分解法，同时这里也会巩固韦
达定理，进一步理解根 与系数之间的关系．
类型一：解根式方程
例1：求方程 的解集．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
故原方程可变为 ，
因此可知 或 （ 舍）．
从而 ，即 ，[来源:Z|xx|k.Com]
所以原方程的解集为 ．
【点睛】本题考查通过开根号法求解一元二次方程，一般遵循配方，开根号的步骤，属基础题.
考点练习一
1. 解方程 ．
【答案】
【解析】令 方程化为 ，
解得 或 （舍）．
由 得 ，即 ，
解得 或 ，
经检验， 是原方程的解．
所以原方程的解集为 ．
【点睛】本题考查利用换元法求解带根式的方程，属中档题.
类型二：解高次方程
例2： ．
【答案】（ ；
【解析】 令 ，原方程化为 ，
解得 或 ．
当 时， ，
即 ， ，此方程无解．
当 时， ，即 ，解得 或 ．
所以原方程的解集为 ．
【点睛】本题考查利用换元法求解高次方程，属中档题.
[来源:学科网]
考点练习二
2．求下列方程的解集
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）设 ，原方程化为 ，
2
解得 ．
当 时， ，∴ ；[来源:学科网]
当 时， ，∴ ．
∴原方程的解集为 ．
（2）设 ，原方程化为 ，
解得 ．
当 时 ，有 ，
此时， ，方程的解集为 ；
当 时，有 ，
解得 ．
∴方程的解集为 ．
（3）原方程化为 ，
设 ，则有 ，
解得 ．
当 时，有 ，
即 ，此时 ，方程的解集为 ．
当 时，有 ，即 ，[来源:学科网ZX XK]
解得 ．
3
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