第十八讲 二次函数与一元二次方程（解析版）2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第十八讲 二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
【新课讲解】
知识点 1：二次函数与一元二次方程的关系
一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数 y=ax2+bx+c 为一元二次方程. 所以二次函数与一元二次方
程关系密切．比如：已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以解一元二次方程－x2＋
4x=3（即 x2－4x+3=0）．反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为 0，
求自变量 x 的值．
知识点 2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的关系
【例题 1】已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与 x 轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与 x 轴总有两个交点；
(2)解：令 y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0 或 mx－2＝0，
1
解得 x1＝1，x2＝2/m .
当 m 为正整数 1 或 2 时，x2为整数，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数 m 的值为 1 或 2.
【例题 2】已知：抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2的平方和为 3，求 a 的值．
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
知识点 3：利用二次函数求一元二次方程的近似解
【例题 3】已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(
)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
【答案】B
【解析】解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，
直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
由图象可得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点到原点的距离
约为 0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为 x＝－1，则
2
2
21
xx
＝－1，
∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故 x1≈－2.5，x2≈0.5.故选 B.
知识点 4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
【问题 1】 函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么
方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1， x2=3
不等式 ax2+bx+c>0 的解集 是 x<-1 或 x>3
不等式 ax2+bx+c<0 的解集 是-1<x<3
【问题 2】函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么
3
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