第十三讲 实数-【暑假辅导班】新七年级数学暑假精品课程（浙教版）（原卷版）

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第十三讲 实数
3.2 实数
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 掌握实数与数轴之间联系，理解实数的大小比较，会进行实数的简单估算 .
【基础知识】
一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数
的形式.
（ 2 ） 常 见 的 无 理 数 有 三 种 形 式 ： ① 含 类 .② 看 似 循 环 而 实 质 不 循 环 的 数 ， 如 ：
1.313113111…….③ 带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与 0 的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点的关系
我们尝试用数轴上的一个点来表示 ．
由前面的学习，我们知道两个边长为 1的小正方形可以拼成一个面积为 2的正方形 ABCD，它的边长为
．观察正方形 ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是
1．
这样，就在数轴上确定一个点来表示 ．
1
要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一
个实数．数轴上的点与实数一一对应。
3.两个实数比较大小
① 负数小于 0,0 小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边
的点表示的数比左边的大。
② 数轴上，如果点 A,点B所对应的数分别为 a，b，那么 A,B 两点的距 离
4.估算：怎样估算无理数 (① 误差小于 1)？(② 误差小于 0.1)？
误差小于 0.1 就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于 0.1.
估算无理数的方法是：
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到 1m 是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于 1m，
答案在真正值左右 1m 都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于 1m 就是估算到个位，误差小于 10m
就是估算到十位。
记忆常用数的近似值： ≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
【考点剖析】
例1．下列实数 ， ， （相邻两个 1之间依次多一个 0）， ， ， 中，
无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．如图，数轴上有 ， ， ， 四点，则这四个点所表示的数与 最接近的是（　
　）
A．点 B．点 C．点 D．点
2
例3．关于 的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示 的点 B．它表示面积为 7的正方形的边长
C．它是数轴上离原点 个单位长度的点表示的数 D．与 最接近的整数是 2
例4．下列说法：
①的相反数是 ；
②算术平方根等于它本身的数只有零；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；
④若 都是无理数，则 一定是无理数．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例5．下列说法：①任何无理数都是无限不循环小数；②实数与数轴上的点一一对应；③绝对值 a
一定是正数；④近似数 1.50 所表示的准确数 x的取值范围是 ；⑤有理数与无理数的和是
无理数；⑥在 1和3之间的无理数有且只有 这 5个；⑦ a、b互为相反数，则 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例6．比较大小： __________ (用“>”或“<”填空)
例7．如图，将面积为 5的正方形放在数轴上，以表示-1 的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，
交数轴于点 ， 两点，则点 ， 表示的数分别为__________．
3
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