专题19 新题型、新运算与阅读理解（原卷版）

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专题 19 新题型、新运算与阅读理解

【分题型精讲】

题型一、阅读理解

例1. 【2019·宁乡市期末】我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面直角坐标系中，我们标出以这个

方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一天直线上.

例如：x=3，y=4 是方程 x-y=-1 的一个解，对应点 M(3,4)，如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，

另外方程的解还对应点（2,3），（1,2）……

将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程 x-y=-1 的解.所以，

我们就把这条直线就叫做方程 x-y=-1 的图象.

一般地，任意二元一次方程的解对应点连成的直线就叫这个方程的图象，请问：

（1）已知点 A(1,1)、B（4，-2）、C（5,1），则点在方程 x-2y=3 的图象上.

（2）求方程 x+y=10 和方程 2x+y=16 图象的交点坐标？

（3）已知关于 x、y的方程组的解为坐标的点在方程 x+y=的图象上，当 t>m时，化简

例2.【2019·重庆市綦江区监测卷】我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的

有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：如果 mx+n=0，其中 m、n为有理数，

x为无理数，那么 m=0 且n=0.

（1）如果，其中 a、b为有理数，那么 a= ，b= .

（2）如果，其中 a、b为有理数，求 a+2b的值.

题型二、定义新运算

例3. 【2019·巴川中学期末】对于 x，y定义一种新运算△，规定：（其中 a，b均为非零常

数），已知，．

（1）求 a、b的值；

（2）在（1）的条件下，若关于 x，y的方程组的解满足 x+y<-1，求 m的取值范围．

题型三、新题型

例4.【2018·重庆市期末】对于两个两位数 p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字

分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位

数，把这两个新四位数的和与 11 的商记为 F（p，q）．

例如：当 p=23，q=15 时，将 p十位上的 2放置于 q中1与5之间，将 p个位上的 3位置于 q中5的右边，

得到 1253．将 q十位上的 1放置于 p中2和3之间，将 q个位上的 5放置于 p中3的右边，得到 2135．这

两个新四位数的和为 1253+2135=3388，3388÷11=308，所以 F （23，15）=308．

（1）计算：F （13，26）；

（2）若 a=10+m，b=10n+5 ，（ 0≤m≤9 ，1≤n≤9 ，m，n均为自然数）．当

150F（a，18）+F（b，26）=32761 时，求 m+n的值．

例5. 【2018·长沙市月考】对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即 n为非负整数时，如果 n-

0.5≤x<n+0.5，则<x>=n. 反之，当 n为非负整数时，如果<x>=n，则 n-0.5≤x<n+0.5.

例如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.49>=1，<2>=2……

试解决以下问题：

（1）填空：①<π>= ② 如果<x-1>=3，则实数 x的取值范围是

（2）若关于 x的不等式组的整数解恰好有 3个，则 a的取值范围是

（3）求满足<x+1>= x的所有非负整数 x的值.

【刻意练习】

1.【2019·吉林名校期中】定义一种法则“ ”如下：，例如：．

（1）　　；

（2）若，求的负整数值．

2.【2018·天津市河西区期末】如图是测量一物体体积的过程：

步骤一：将 180 mL 的水装进一个容量为 300 mL 的杯子中；

步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；

步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.

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