《中考数学一轮复习精讲+热考题型》专题51 函数与图形相似相关问题（解析版）

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专题 51 函数与图形相似相关问题（15 题）

1．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，批物线 y＝x24﹣x＋a（a＜0）

与y轴交于点 A，与 x轴交于 E、F两点（点 E在点 F的右侧），顶点为 M．直线与 x轴、y轴

分别交于 B、C两点，与直线 AM 交于点 D．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）在 y轴右侧的抛物线上存在点 P，使得以 P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求 a的值；

（3）如图②，过抛物线顶点 M作MN⊥x轴于 N，连接 ME，点 Q为抛物线上任意一点，过点 Q作QG⊥x

轴于 G，连接 QE．当 a＝﹣5时，是否存在点 Q，使得以 Q、E、G为顶点的三角形与△MNE 相似（不含

全等）？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）直线 x＝2；（2）；（3）存在，点 Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（

，）．

【提示】

（1）y＝x24﹣x＋a＝（x2﹣）2＋a4﹣，即可求解；

（2）求出直线 AM 的解析式为 y＝﹣2x＋a，联立方程组可解得点 D的坐标（ a，－ a）；AC 是以

P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点 P与点 D关于原点对称，即 P（a，－ a），将点

P（﹣ a，a）代入抛物线 y＝x24﹣x＋a，即可求解；

（3）分、两种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）∵y＝x24﹣x＋a＝（x2﹣）2＋a4﹣，

∴抛物线的对称轴为直线 x＝2；

（2）由 y＝（x2﹣）2＋a4﹣得：A（0，a），M（2，a4﹣），

由y＝x﹣a 得C（0，﹣a），

设直线 AM 的解析式为 y＝kx＋a，

将M（2，a4﹣）代人 y＝kx＋a中，得 2k＋a＝a4﹣，

解得 k＝﹣2，

直线 AM 的解析式为 y＝﹣2x＋a，

联立方程组得，解得，

∴D（a，－ a），

∵a＜0，

∴点D在第二象限，

又点 A与点 C关于原点对称，

∴AC 是以 P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点 P与点 D关于原点对称，

即P（－ a，a），

将点 P（﹣ a，a）代入抛物线 y＝x24﹣x＋a，解得 a＝或 a＝0（舍去），

∴a＝；

（3）存在，

理由如下：当 a＝﹣5时，y＝x24﹣x5﹣＝（x2﹣）29﹣，此时 M（2，﹣9），

令y＝0，即（x2﹣）29﹣＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝5，

∴点F（﹣1，0）E（5，0），

∴EN＝FN＝3 MN＝9，

设点 Q（m，m24﹣m5﹣），则 G（m，0），

∴EG＝|m5|﹣QG＝|m24﹣m5|﹣，

又△QEG 与△MNE 都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，

如图所示，需分两种情况进行讨论：

i）当时，即＝，

解得 m＝2或m＝﹣4或m＝5（舍去）；

当m＝2时点 Q与点 M重合，不符合题意，舍去，

当m＝﹣4时，此时 Q坐标为点 Q1（﹣4，27）；

ii）当时，即＝，，

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