《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题18 动点在几何图形面积中的分类讨论(提升训练)(解析版)

3.0 envi 2025-02-09 20 4 395.57KB 12 页 3知币

侵权投诉

专题 18 动点在几何图形面积中的分类讨论

1、如图 1，边长为 8的正方形 ABCD 的两边在坐标轴上，以点 C为顶点的抛物线经过点 A，点 P是抛物线

上A、C两点间的一个动点（含端点），过点 P作PF⊥BC 于点 F．点 D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4,

0)，联结 PD、PE、DE．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点 P的位置发现：当点 P与点 A或点 C重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对

于任意一点 P，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点 P记作“好点”，则存在多个

“好点”，且使△PDE 的周长最小的点 P也是一个“好点”．

请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．

图1 备用图

思路点拨

1．第（2）题通过计算进行说理．设点 P的坐标，用两点间的距离公式表示 PD、PF 的长．

2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求 PE＋PF 的最小值．

满分解答

（1）抛物线的解析式为．

（2）小明的判断正确，对于任意一点 P，PD－PF＝2．说理如下：

设点 P的坐标为，那么 PF＝yF－yP＝．

而FD2＝，所以 FD＝．

因此 PD－PF＝2为定值．[来源:学科网 ZXXK]

（3）“好点”共有 11 个．

在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于 FD＋PE 的最小值．

而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当 P、E、F三点共线时，△PDE 的周长最小（如图

2）．

此时 EF⊥x轴，点 P的横坐标为－4．

所以△PDE 周长最小时，“好点”P的坐标为(－4, 6)．

[来源:学#科#网]

图2 图3

2、如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx－3（a≠0）与 x轴交于 A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与 y

轴交于点 C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 P从点 A出发，在线段 AB 上以每秒 3个单位长度的速度向点 B运动，同时点 Q从点 B出发，

在线段 BC 上以每秒 1个单位长度的速度向点 C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当

△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 S△CBK∶S△PBQ＝5 2∶ ，求点 K的坐

标．

图1

思路点拨

1．△PBQ 的面积可以表示为 t的二次函数，求二次函数的最小值．

2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为

△CBK 与△PBC 的比．

满分解答

（1）因为抛物线与 x轴交于 A(－2, 0)、B(4, 0)两点，所以 y＝a(x＋2)(x－4)．

所以－8a＝－3．解得．

所以抛物线的解析式为．

（2）如图 2，过点 Q作QH⊥x轴，垂足为 H．

在Rt△BCO 中，OB＝4，OC＝3，所以 BC＝5，sinB＝．

在Rt△BQH 中，BQ＝t，所以 QH＝BQsinB＝t．

所以 S△PBQ＝．

因为 0≤t≤2，所以当 t＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是。[来源:Z,xx,k.Com]

（3）当△PBQ 的面积最大时，t＝1，此时 P是AB 的中点，P(1, 0)，BQ＝1。

如图 3，因为△PBC 与△PBQ 是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5 1∶ 。

当S△CBK∶S△PBQ＝5 2∶ 时，S△PBC∶S△CBK＝2 1∶ 。

因为△PBC 与△CBK 是同底三角形，所以对应高的比为 2 1∶ 。

如图 4，过 x轴上的点 D画CB 的平行线交抛物线于 K，那么 PB∶DB＝2 1∶ 。

因为点 K在BC 的下方，所以点 D在点 B的右侧，点 D的坐标为．

过点 K作KE⊥x轴于 E．设点 K的坐标为．

由，得．整理，得 x2－4x＋3＝0．

解得 x＝1，或 x＝3．所以点 K的坐标为或．

图2 图3 图4

3、如图 1，已知抛物线（b、c是常数，且 c＜0）与 x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左

侧），与 y轴的负半轴交于点 C，点 A的坐标为(－1,0)．

（1）b＝______，点 B的横坐标为_______（上述结果均用含 c的代数式表示）；

（2）连结 BC，过点 A作直线 AE//BC，与抛物线交于点 E．点 D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题18 动点在几何图形面积中的分类讨论(提升训练)(解析版).docx

共12页,预览4页

还剩页未读，继续阅读

《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题18 动点在几何图形面积中的分类讨论(提升训练)(解析版)

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: