《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题24 以几何为背景的直角三角形的存在性问题

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专题 24 以几何为背景的直角三角形的存在性问题
【知识讲解】
1、 解题思路：
（1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
（2） 运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长．
【例题讲解】
1、如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x轴、y轴的正半轴上，OA = 4，OC =
2．点 P从点 O出发，沿 x轴以每秒 1个单位长的速度向点 A匀速运动，当点 P到达点 A时停止运动，设点
P运动的时间是 t秒．将线段 CP 的中点绕点 P按顺时针方向旋转 90°得点 D，点 D随点 P的运动而运动，连
接DP、DA．
（1）请用含 t的代数式表示出点 D的坐标；
（2）在点 P从O向A运动的过程中， 能否成为直角三角形？若能，求 t的值．若
不能，请说明理由．
【答案】（1）D点坐标为 ；（2）t = 2 或3．
【解析】解：（1）取 CP 中点 M，作 MN⊥OP 于N，作 DH⊥PA 于H．
可得， ．
∵， ，P点坐标为 ，
∴D点坐标为 ；
（2）当 时， ，
A
B
C
D
OPx
y
H
M
N
1
∴．即 ，解得： 或 （舍）．
当 时， ，∴ ，即 ，∴PA = 1，∴t = 3
故当 是直角三角形时， 或 3．
【总结】本题一方面考查三角形的旋转问题，另一方面考查相似三角形的性质的运用，注意利用旋转的性
质进行求解．
2、如图，在 中，CA = CB，AB = 8， ．点 D是AB 边上的一个动点，点 E与点 A关于直线
CD 对称，联结 CE、DE．
（1）求底边 AB 上的高；
（2）设 CE 与AB 交于点 F，当 为直角三角形时，求 AD 的长；
（3）联结 AE，当 是直角三角形时，求 AD 的长．
【答案】（1）3；（2）AD 的长为 或 ；（3） 的长为 1．
【解析】解：（1）过 C作CH⊥AB 于H．
∵AC = BC，AB = 8，∴AH = BH = 4．
又∵ ，∴AC = BC = 5，CH = 3；
（2）分情况讨论：
①当 时，F与H重合，∴EH = 2．
∵，∴ ．
∴；
②当 时，作 DM⊥AC 于M，设 CM = x，
A B
C
D
E
H
2
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