1.4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积的最值问题2021-2022学年浙教版九年级数学上册

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1.4　二次函数的应用
第1课时
　
利用二次函数解决面积的最值问题
【基础练习】
知识点 1　特殊四边形的面积最值问题
1.[教材作业题第 3题变式] 用一根长为 30 cm 的绳子围成一个矩形,其面积的最大值为 (
)
A.225 cm2B.112.5 cm2C.56.25 cm2D.100 cm2
2.如图 1,已知▱ABCD 的周长为 8 cm,∠B=30°,若边长 AB=x cm.
(1)▱ABCD 的面积 y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为
　　　　　　
,自变量 x的取值范围为
;
(2)当x=
　　　　
时,y的值最大,最大值为
　　　　
.
图1
3.如图 2所示,在长度为 1的线段 AB 上取一点 P,分别以 AP,BP 为边作正方形,则这两个正方
形面积之和的最小值为
　　　　
.
图2
4.现有铝合金窗框料 8 m,准备用它做一个如图 3所示的矩形窗框.通常,当窗户总面积最大时,
窗户的透光度最好.要使这个窗户的透光度最好,窗框的宽 AB 应为多少米?此时窗户的总面
积为多少平方米(忽略框的厚度)?
图3
1
5.[教材例 1变式] 课本中有一个例题:
如图 4① 中窗户边框的上部分是由 4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗
户边框的材料的总长度为 6 m,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大(结果精
确到 0.01 m)?
这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为 0.35 m,窗框矩形部分的另一边长约为 1.23 m 时,
窗户的透光面积最大,最大值约为 1.05 m2.
如果我们改变这个窗户的形状,上部分改为由两个正方形组成的矩形,如图②,材料的总长度
仍为 6 m,利用图③,解答下列问题:
(1)若AB 为1 m,求此时窗户的透光面积;
(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说
明.
图4
知识点 2　三角形的面积最值问题
2
6.如图 5,在矩形 ABCD 中,AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点 A,B同时出发,点P在边 AB
上以每秒 2 cm 的速度向点 B运动,点Q在边 BC 上以每秒 1 cm 的速度向点 C运动,当P,Q中
的一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为 x s,△PBQ 的面积为 y cm2.
(1)求y关于 x的函数表达式,并写出 x的取值范围;
(2)求△PBQ 的最大面积.
图5
【能力提升】
7.如 图 6所 示 ,在矩形 ABCD 的 边 AB,BC,CD 和DA 上分别选取点 E,F,G,H,使 得
AE=AH=CF=CG.如果 AB=60,BC=40,那么四边形 EFGH 的最大面积是 (
　　
)
图6
A.1350 B.1300 C.1250 D.1200
8.[2019·温州模拟] 为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为 80 m 的
篱笆围成了如图 7所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则围成的矩
形区域 ABCD 的面积的最大值是
　　　　
m2.
图7
3
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