9.5 多项式的因式分解-七年级数学下册同步课堂帮帮帮（苏科版）（原卷版）

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多项式的因式分解
知识点一、因式分解
因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式
分解因式.
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结
果只能是整式的积的形式；
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止；
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运
算.
例：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x2﹣）＝x22﹣xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x24﹣＝（x+2）（x2﹣）D．x+2＝x（1
+2
x
）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
知识点二、公因式
公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式；
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.② 字母是各项
中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
例：多项式 8a3b2+12a3bc 4﹣a2b中，各项的公因式是（　　）
A．a2bB．﹣4a2b2C．4a2bD．﹣a2b
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：多项式 8a3b2+12a3bc 4﹣a2b中各项的公因式是 4a2b，
故选：C．
1
【点评】此题主要考查了公因式，关键是掌握确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定
系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
知识点三、提公因式法分解因式
1. 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个
多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，如多项式 就可以写成是 与
的积，即 .
2. 提公因式法的实质就是乘法分配律的逆用， ；
3. 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式；
4. 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多
项式的各项都要变号；
5. 用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变
为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是 0而出现错误.
例：已知 xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式 x2y﹣xy2的值是（　　）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
【分析】首先提公因式 xy，再代入计算即可．
【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
故选：D．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握确定公因式的方法．
知识点四、运用公式法分解因式
1. 运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法；
2. 逆用平方差公式： ，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差
的积.
3. 逆用完全平方公式： ， ，即两个数的平方和
加上（减去）这两个数的积的 2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
例：下列结论正确的是（　　）
2
A．（a+b）2＝a2+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
C．a29﹣b2＝（a+3b）（a3﹣b）D．a22﹣b2＝（a+2b）（a2﹣b）
【分析】利用完全平方公式，以及平方差公式判断即可．
【解答】解：A、原式＝a2+b2+2ab，不符合题意；
B、原式＝a22﹣ab+b2，不符合题意；
C、原式＝（a+3b）（a3﹣b），符合题意；
D、原式＝（a
+
√
2
b）（a
−
√
2
b），不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
巩固练习
一．选择题
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2D．2x+2y+1＝2（x+y+1）
2．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2
B．x25﹣x6﹣＝（x2﹣）（x3﹣）
C．x34﹣x＝x（x24﹣）
D．9m24﹣n2＝（3m+2n）（3m2﹣n）
3．已知 x+y＝1，则
1
2x2+xy +1
2y2=¿
（　　）
A．1 B．
1
2
C．2 D．1或2
4．若实数 x满足 x22﹣x1﹣＝0，则 2x37﹣x2+4x+2023 的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．已知 a+b＝3，ab＝1，则多项式 a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
6．已知 a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则 a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc 的值是（　　）
3
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