《中考数学必考的十五种类型大题夺分技巧再训练》专题07 锐角三角函数应用问题（原卷版）

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专题 07 锐角三角函数应用问题
1.如图所示，某施工队要测量隧道长度 BC，AD=600 米，AD⊥BC，施工队站在点 D处看向 B，测得仰角为
45°，再由 D走到 E处测量，DE∥AC，ED=500 米，测得仰角为 53°，求隧道 BC 长．（sin53°≈ ，cos53°≈
，tan53°≈ ）．
2.如图是某区域的平面示意图，码头 A在观测站 B的正东方向，码头 A的北偏西 60°方向上有一小岛 C，小
岛C在观测站 B的北偏西 15°方向上，码头 A到小岛 C的距离 AC 为10 海里．
（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；
（2）求观测站 B到AC 的距离 BP（结果保留根号）．
3．如图，海岛 B在海岛 A的北偏东 30 方向，且与海岛 A相距 20 海里，一艘渔船从海岛 B出发，以 5海里
/时的速度沿北偏东 75°方向航行，同时一艘快艇从海岛 A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达 C
1
处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的 E处．
（1）求∠ABE 的度数；
（2）求快艇的速度及 C，E之间的距离．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，
√
3≈
1.73）
4．共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图 A，B两
地向 C地新建 AC，BC 两条笔直的污水收集管道，现测得 C地在 A地北偏东 45°方向上，在 B地北偏西 68°向
上 ， AB 的距离为 7km ，求新建管道的总长度．（结果精确到
0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，
√
2≈
1.41）
5．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存
在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 l1∥l2，点 A、B分别在 l1、l2上，斜坡 AB 的长为 18 米，
过点 B作BC⊥l1于点 C，且线段 AC 的长为 2
√
6
米．
2
（1）求该斜坡的坡高 BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角 α为60°，过点 M作MN⊥l1
于点 N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
6．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆
柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 MN 的距离皆为 100cm．王诗嬑观测到高度 90cm 矮圆柱的影
子落在地面上，其长为 72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚
水平线 MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 i＝1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情
况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 cm？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答
这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 100 cm，则高圆柱的高度为多少 cm？
7．小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场 ABCD 边AB 的中点 M处有一座雕塑．在某一时刻，
小红到达点 P处，爸爸到达点 Q处，此时雕塑在小红的南偏东 45°方向，爸爸在小红的北偏东 60°方向，若
小红到雕塑的距离 PM＝30m，求小红与爸爸的距离 PQ．（结果精确到 1m，参考数据：
√
2≈
1.41，
√
3≈
3
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