《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题16 截长补短问题（解析版）

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专题 16 截长补短问题
【规律总结】
“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量
关系，即若题目条件或结论中含有“a＋b＝c”的条件，需要添加辅助线时可以
考虑“截长补短”的方法。
截长法：
在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段
等于另外的较短线段。
补短法：
① 延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明
两线段之和等于较长线段。即延长 a，得到 b，证：a＋b＝c。
② 延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出
来的部分等于另一条较短线段。即延长 a，得到 c，证：b＝c-a。
【典例分析】
例1．（2020·广州大学附属中学八年级月考）如图，在 中，AD 平分 ，
， ， ，则 AC 的长为（ ）
A．3 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【分析】
在AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明△ABD AED≌△ ，得到∠B= AED∠，AB=AE，再证明
CD=CE，进而代入数值解答即可．
【详解】
1
在AC 上截取 AE=AB，连接 DE，
AD∵平分∠BAC，
BAD= DAC∴∠ ∠ ，
在△ABD 和△AED 中，
，
ABD AED∴△ ≌△ （SAS），
B= AED∴∠ ∠ ，∠ADB = ADE∠， AB=AE，
又∠B=2 ADB∠
AED=2 ADB∴∠ ∠ ，∠BDE=2 ADB∠，
AED= C+ EDC=2 ADB∵∠ ∠ ∠ ∠ ，∠BDE= C+ DEC=2 ADB∠ ∠ ∠ ，
DEC = EDC∴∠ ∠ ，
CD=CE∴，
∵， ，
AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等
三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
2
例2．（2021·上海九年级专题练习）如图，△ABC 中，E在BC 上，D在BA 上，过 E作
EF AB⊥于F，∠B＝∠1+ 2∠，AB＝CD，BF＝ ，则 AD 的长为________．
【答案】
【分析】
在FA 上取一点 T，使得 FT=BF，连接 ET，在 CB 上取一点 K，使得 CK=ET，连接 DK．想办法
证明 AT=DK，DK=BD，推出 BD=AT，推出 BT=AD 即可解决问题．
【详解】
在FA 上取一点 T，使得 FT=BF，连接 ET，在 CB 上取一点 K，使得 CK=ET，连接 DK．
∵EB=ET，
∴∠B=∠ETB，
∵∠ETB= 1+∠ ∠AET，∠B= 1+ 2∠ ∠ ，
∴∠AET= 2∠，
∵AE=CD，ET=CK，
∴△AET≌△DCK(SAS)，
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，
∴∠ETB=∠DKB，
3
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