《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题20 角含半角模型问题（原卷版）

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专题 20 角含半角模型问题
【规律总结】
角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直
角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要
有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
类型一：等腰直角三角形角含半角模型
类型二：正方形中角含半角模型
【典例分析】
例1．（2020·广西南宁市·九年级期中）（探索发现）如图①，四边形 ABCD 是正方形，
M，N分别在边 CD、BC 上，且 ，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决
“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将 绕点 A顺时针旋转
，点 D与点 B重合，得到 ，连接 AM、AN、MN．
（1）试判断 DM，BN，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）如图②，点 M、N分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 的延长线上， ，连
接MN，请写出 MN、DM、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形 ABCD 中，AB=AD， ， ，点 N，M分
别在边 BC，CD 上， ，请直接写出线段 BN，DM，MN 之间的数量关系．
1
【答案】（1） ，证明见解析；（2）,证明见解析；
（3） ．
【分析】
（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用 SAS 可证
，则可得： ；
（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用 SAS 可证
，则可得： ；
（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用 SAS 可证
，则可得： ；
【详解】
证明：（1）如图①，∵四边形 ABCD 是正方形
AB=AD∴，=
将 绕点 A顺时针旋转 ，得到
∴ ≌
∴
2
∵
在 和 中
∵，
∴
（2）如图②，将 绕点 A顺时针旋转 ，得到
∵四边形 ABCD 是正方形
AB=AD∴，=
3
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