《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题51 三角形面积有关的最值问题（解析版）

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专题 51 三角形面积有关的最值问题
【规律总结】
关键是确定动点到定直线的最小距离，有函数法、也有几何
法；
【典例分析】
例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图， 为边长为 的菱形 的对角线，
，点 M，N分别从点 B，C同时出发，以相同的速度沿 向终点 C和A
运动，连接 和 ，求 面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意易得 ，易证△ABM BCN≌△ ，则有 ，进而可得
，然后可知点 P的运动轨迹是一个圆弧，则当 为等腰三角形时，
的面积最大，进而问题可求解．
【详解】
1
解：由 M，N点的速度相同可知 ，
∵四边形 是菱形，∠ABC=60°，
AB=BC∴，∠ABC= ACB=60°∠，
∴（SAS），
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ 为定长， ，
∴点P的运动轨迹为一个圆弧，在 上运动，圆心 Q的位置为 AB、BP 的垂直平分线的
交点，点 P在以 Q为圆心 QB 为半径的圆上，由优弧 AB 的圆周角为 120°可得劣弧 AB 所对
的圆心角度数为 120°，过点 Q作QH AB⊥，交 AB 于点 E， 于点 H，连接 BQ，如图所示：
2
∴当点 P与点 H重合时，此时△ABP 的面积为最大，
又∵ ，∠APB=120°，
∴，∠BQE=60°，
∴，
EH=1∴，
∴边上的高为 1，
∴的面积最大值为 ；
故选 D．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质及三角函数，熟练掌握圆的基本性质及三角函数是解题的关键．
例2．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校九年级期末）如图，在矩形 ABCD 中，
AB=3，BC=4，O为矩形 ABCD 的中心，以 D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动
点，连接 AP，OP，AO，则△AOP 面积的最大值为____．
3
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