《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题53 与二次函数有关的综合问题（1）（原卷版）

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专题 53 与二次函数有关的综合问题（1）
【规律总结】
解析式
a 的取值
开口方向
函数值的增减
顶点坐标 对称轴 图像与 y 轴
的交点
a当>0时
；开口向上；
在对称轴的左侧 y 随 x 的增大
而减小，在对称轴的右侧 y 随
x 的增大而增大。
a当<0时
；开口向
下；在对称轴的左侧 y 随 x 的
增大而增大，在对称轴的右侧
y 随 x 的增大而减小。
【典例分析】
例1．（2020·福建九年级零模）若二次函数 （ 且 ）过
1
（0，ah2）
（0，ah2+k）
x=− b
2a
， ， ， ， ，且 到对称轴的距离
相等 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由点 A（m，n）、C（2−m，n）到对称轴的距离相等，可求函数的对称轴为 x＝1，所以
b=-2a，根据 a、b和c的取值范围，可以判断 、 和 时，函数
所对应的函数值 ，所以 、 和
所对应的的二次函数 的函数值 ；
【详解】
∵点A（m，n）、C（2−m，n）到对称轴的距离相等，
∴函数的对称轴为 x＝1，
b=-2a∴，
又∵x=-1 和x=3 与对称轴的距离相等
x=-1∴和x=3 对应的函数值相等
∵且
2
∴对于函数 ，
∵， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
例2．（2020·全国九年级课时练习）二次函数 f（x）的图象开口向上，D为顶点，与 x轴
交于 A，B两点，与 y轴交于点 C，若三角形 ABC 外接圆与 y轴相切，且∠DAC＝150°，则
x≠0 时， 的最小值是_____．
【答案】
【分析】
设点 A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣
x1）（x﹣x2），△ABC 外接圆的圆心为 P．求出点 P、D的坐标，可得：AH2＝PH•HD，从而
3
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