《中考数学二轮复习之重难热点提分专题》十二 折叠旋转问题（解析版）

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专题十二 折叠旋转问题
1．（2020•青岛）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C和点 A重合，折痕为 EF，EF 与AC 交于点 O．若 AE
＝5，BF＝3，则 AO 的长为（　　）
A．
√
5
B．
3
2
√
5
C．2
√
5
D．4
√
5
【分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出 AF＝FC＝AE＝5，由勾股定理求出 AB，AC，进而
求出 OA 即可．
【解答】解：∵矩形 ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
∴AE＝AF＝3，
由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF 中，AB
¿
√
52−32=¿
4，
在Rt△ABC 中，AC
¿
√
42+82=¿
4
√
5
，
∴OA＝OC＝2
√
5
，
故选：C．
2．（2020•广东）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，点 E，F分别在边 AB，CD 上，∠EFD＝60°．若将
四边形 EBCF 沿EF 折叠，点 B恰好落在 AD 边上，则 BE 的长度为（　　）
1
A．1 B．
C．
√
3
D．2
【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝
B'E，设 BE＝x，则 B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出 x即可
得出答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形 EBCF 沿EF 折叠，点 B恰好落在 AD 边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设BE＝x，则 B'E＝x，AE＝3﹣x，
2∴（3﹣x）＝x，
解得 x＝2．
故选：D．
3．（2020•内江）如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿BE、BF 所在直线折叠，使点 A落
在BD 上的点 M处，点 C落在 BD 上的点 N处，连结 EF．已知 AB＝3，BC＝4，则 EF 的长为（　　）
A．3 B．5 C．
5
√
13
6
D．
√
13
【分析】求出 BD＝5，AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，证明△EDM∽△BDA，由相似三角形的性质得出
2
ED
BD =EM
AB
，设 DE＝x，则 AE＝EM＝4﹣x，得出
x
5=4− x
3
，解得 x
¿5
2
，同理△DNF∽△DCB，得出
DF
BD =NF
BC
，设 DF＝y，则 CF＝NF＝3﹣y，则
y
5=3− y
4
，解得 y
¿5
3
．由勾股定理即可求出 EF 的长．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴BD
¿
√
A B2+A D2=
√
32+42=¿
5，
∵将矩形 ABCD 沿BE 所在直线折叠，使点 A落在 BD 上的点 M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴
ED
BD =EM
AB
，
设DE＝x，则 AE＝EM＝4﹣x，
∴
x
5=4− x
3
，
解得 x
¿5
2
，
∴DE
¿5
2
，
同理△DNF∽△DCB，
∴
DF
BD =NF
BC
，
设DF＝y，则 CF＝NF＝3﹣y，
∴
y
5=3− y
4
，
解得 y
¿5
3
．
∴DF
¿5
3
．
∴EF
¿
√
D E2+D F2=
√
¿¿
．
3
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