《中考数学二轮复习之重难热点提分专题》十七 二次函数与平行四边形存在问题（解析版）

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专题十七 二次函数与平行四边形存在问题
1．（2020•青海）如图 1（注：与图 2完全相同）所示，抛物线 y
¿−1
2x2+¿
bx+c经过 B、D两点，与 x轴
的另一个交点为 A，与 y轴相交于点 C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积．（请在图 1中探索）
（3）设点 Q在y轴上，点 P在抛物线上．要使以点 A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所
有满足条件的点 P的坐标．（请在图 2中探索）
【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点 A、D坐标及抛物线顶点 M的坐标，再将四边形 ABMC 的面积分为三
角形的面积的和，进行计算便可；
（3）分两种情况：AB 为平行四边形的边；AB 为平行四边形的对角线．分别解答便可．
【解析】（1）把 B（3，0）和 D（﹣2，
−5
2
）代入抛物线的解析式得，
{
−9
2+3b+c=0
−2−2b+c=−5
2
，
解得，
{
b=1
c=3
2
，
1
∴抛物线的解析式为：
y=−1
2x2+x+3
2
；
（2）令 x＝0，得
y=−1
2x2+x+3
2=3
2
，
∴
C(0，3
2)
，
令y＝0，得
0，
解得，x＝﹣1，或 x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵
y=−1
2x2+x+3
2=−1
2¿
，
∴M（1，2），
∴S四边形 ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOM
¿1
2OA ⋅OC+1
2OC ⋅xM+1
2OB ⋅yM
¿1
2×1×3
2+1
2×3
2×1+1
2×3×2=9
2
；
（3）设 Q（0，n），
①当AB 为平行四边形的边时，有 AB∥PQ，AB＝PQ，
2
a）．Q点在 P点左边时，则 Q（﹣4，n），
把Q（﹣4，n）代入
y=−1
2x2+x+3
2
，得
n
¿−21
2
，
∴P（﹣4，
−21
2
）；
②Q点在 P点右边时，则 Q（4，n），
把Q（4，n）代入
y=−1
2x2+x+3
2
，得
n
¿−5
2
，
∴P（4，
−5
2
）；
③当AB 为平行四边形的对角线时，如图 2，AB 与PQ 交于点 E，
则E（1，0），
∵PE＝QE，
∴P（2，﹣n），
把P（2，﹣n）代入
y=−1
2x2+x+3
2
，得
﹣n
¿3
2
，
∴n
¿−3
2
，
∴P（2，
3
2
）．
3
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